VARIOGRAMA EXPERIMENTAL Es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una propiedad o variable sobre una zona dada. Ejemplo: Detectar.

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1 VARIOGRAMA EXPERIMENTAL Es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una propiedad o variable sobre una zona dada. Ejemplo: Detectar direcciones de anisotropía Zonas de influencia y su extensión (correlación espacial) Variabilidad con la distancia

2 Meseta o sill = Valor constante que toma el variograma en distancias mayores al rango. Alcance o rango = la distancia a la cual el variograma alcanza la meseta, el variograma se estabiliza. Efecto pepita = suma de variabilidad debida a micro-estructuras geológicas y error de medición. Cualquier error en la medición del valor o la posición asignada a la medida se traduce en un efecto pepita más alto.  Distancia Meseta alcance Efecto pepita Variograma INTERPRETACIÓN DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES

3 ANISOTROPÍAS Generalmente cuando el variograma experimental es calculado en distintas direcciones presenta distintos comportamientos con la variación de la distancia. 1.Anisotropía Geométrica 2.Anisotropía Zonal 3.Anisotropía Híbrida

4 Anisotropía Geométrica Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo sill pero rangos distintos. Mayor continuidad espacial en la dirección de mayor rango. Menor continuidad espacial en la dirección de menor rango

5 Anisotropía Zonal Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo rango pero diferente sill. Presencia de diferentes estructuras

6 Anisotropía Híbrida Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta rangos diferentes y distintos sill. Presencia de diferentes estructuras Característico de variogramas horizontales y verticales

7 MODELOS DE VARIOGRAMA Modelo Efecto Pepita Puro Modelo Esférico Modelo Exponencial Modelo Gaussiano Modelo Cúbico Modelo Seno Cardinal Modelo Potencia

8 Modelo Efecto Pepita Puro Este modelo representa a un fenómeno completamente aleatorio, en el cual no hay correlación espacial No importa cuán cerca se encuentren los valores de las variables, siempre serán no correlacionados

9 Modelo Esférico Rango ( s) y sill ( a) Comportamiento lineal en el origen. Pendiente igual Representa fenómenos continuos pero no diferenciables modelos de variograma. Es uno de los más utilizados. Modelo Esférico

10 Sill s que alcanza asintóticamente Rango aparente igual a (a) Rango experimental igual a (3a) Comportamiento lineal en el origen Pendiente igual a Representa fenómenos continuos pero no diferenciables Modelo Exponencial

11 Modelo Gaussiano Sill s que alcanza asintóticamente Rango aparente igual a a Rango experimental igual a Comportamiento cuadrático en el origen Representa fenómenos continuos infinitamente diferenciables (sumamente continuos) Modelo Gaussiano

12 Modelo Cúbico Rango a y sill s Comportamiento cuadrático en el origen Representa fenómenos bastante continuos Modelo Cúbico

13 Modelo Seno Cardinal Sill (s) que alcanza asintóticamente Rango aparente igual a (a) Rango experimental igual a (3a) Comportamiento cuadrático en el origen. Se utiliza para representar fenómenos continuos con periodicidades

14 Modelo Potencia s se denomina factor de escala El comportamiento en el origen depende del valor de p Representa fenómenos no estacionarios Modelo Potencia

15 Figura III.3: Línea recta con muestras regulares. i) Sea h = b: Según el algoritmo de cálculo se tiene: 222 ( z 2 − z 1 ) + ( z 3 − z 2 ) +... + ( z N − z N − 1 ) γ (b)γ (b) 2( N − 1)2( N − 1) ii)Sea h = 2b: 222 ( z 3 − z 1 ) + ( z 4 − z 2 ) +... + ( z N − z N − 2 ) γ (2b)γ (2b) 2( N − 2) iii)Sea h = 3b: 222 ( z 4 − z 1 ) + ( z 5 − z 2 ) +... + ( z N − z N − 3 ) γ (3b)γ (3b) 2( N − 3)2( N − 3) iv)Sea en general h = kb (k = 0, 1, 2,..., N-1): Cálculo del variograma para una línea muestreada regularmente Sean N datos z 1, z 2,..., z N y sea b la equidistancia entre ellos: = = =

16 N − kN − k 1 ∑ i + k )2)2 γ (kb) =γ (kb) = ( z − z i 2( N − k )2( N − k ) i =1i =1 γ (0), γ (b), γ (2b), γ (3b),... Posteriormente los valoresse llevan a un gráfico: Figura III.4: Un variograma experimental. La distancia b se llama paso del variograma. Para interpretar el gráfico del variograma distinguiremos el comportamiento para distancias h pequeñas y las distancias h grandes. las

17 Cálculo del variograma para una malla regular bidimensional Supongamos la situación de la figura III.26 (correspondiente a leyes de cobre): Figura III.26: Leyes de cobre en un banco de una mina a cielo abierto. En este caso h es un vector (con coordenadas cartesianas o polares):

18 Figura III.27: componentes del vector h. En este dibujo θ no es el azimuth sino el ángulo de coordenadas polares h = (hx, hy) ← coord. cartesianas h = (h, θ ) ← coord. polares Fijemos la dirección θ del vector h; que sea por ejemplo θ = 90º, i)es decir,la dirección NS.El vector h sólo puede ser: Figura III.28: Vectores orientados según dirección NS

19 Calculemos γ (h 1 )= γ NS (10). Al aplicar el algoritmo hay que considerar las (diferencias) 2 posibles: (z i - z j ) 2 cuando ambos datos z i y z j están definidos. La figura muestra las diferencias que hay que calcular: Figura III.29: Parejas posibles para calcular gama de 10 metros en la dirección NS (hay 36 vectores). Luego: γ (h 1 ) = [ ( 1.6 – 1.4 ) 2 + ( 1.4 - 0.9 ) 2 + ( 0.9 - 0.7 ) 2 + ( 0.7 - 0.8 ) 2 + ( 0.8 – 1.0 ) 2 + ( 0.9 - 1.0 ) 2 - ( 1.0 - 0.7 ) 2 + ( 0.7 - 0.9 ) 2 + ( 1.2 – 1.5 ) 2 + ( 1.5 - 0.9 ) 2 + ( 0.8 - 0.7 ) 2 + ( 1.4 - 1.4 ) 2 + ( 1.4 – 0.7 ) 2 + ( 0.7 - 0.7 ) 2 + ( 0.7 - 0.7 ) 2 + ( 1.2 - 1.1 ) 2 + ( 1.1 – 1.0 ) 2 + ( 1.0 - 0.9 ) 2 + ( 0.9 - 0.6 ) 2 + ( 0.6 - 0.2 ) 2 + ( 1.1 – 1.1 ) 2 + ( 1.1 - 0.9 ) 2 + ( 0.9 - 0.8 ) 2 + ( 0.8 - 0.5 ) 2 + ( 0.9 – 1.3 ) 2 + ( 1.3 - 0.9 ) 2 + ( 0.9 - 0.8 ) 2 + ( 0.8 - 0.4 ) 2 + ( 0.4 – 0.1 ) 2 + ( 0.8 - 1.2 ) 2 + ( 1.2 - 0.5 ) 2 + ( 0.5 - 0.7 ) 2 + ( 0.7 – 0.1 ) 2 + ( 0.1 - 0.2 ) 2 + ( 1.0 - 0.6 ) 2 + ( 0.0 – 0.4 ) 2 ] / ( 2 * 36 ) =0.0535 (36 parejas) De manera análoga se obtiene: γ (h 2 ) = 0.0987 (27 parejas) γ (h 3 ) = 0.1888 (21 parejas)

20 Sea ahora la dirección θ = 0º, es decir la dirección EW. El vector h sólo puede ii) ser: Figura III.30: Vectores orientados según dirección EW. Las diferencias que hay que calcular son: Figura III.31: Parejas posibles para calcular gama de 10 metros en la dirección EW (hay 36 vectores). Se obtiene entonces:

21 γ(h1)γ(h2)γ(h3)γ(h1)γ(h2)γ(h3) ====== 0.0146 0.0330 0.0431 (36 parejas) (33 parejas) (27 parejas) La práctica demuestra que, para estudiar las estructuras basta con calcular γ (h) iii) en dos direcciones adicionales: θ = 45º y θ = 135º Figura III.32: Cálculo de gama de h en la dirección de 45°. La distancia entre parejas es ahora 14.41 metros. Figura III.33: Cálculo de gama de h en la dirección de 135°. La distancia entre parejas contiguas (el paso) es 14.41 metros. En estas direcciones hay que tener presente que el módulo de h es un múltiplo de 10 √ 2.

22 Gráfico de γ (h): Figura III.34: Variograma anisótropo. La variación de las leyes es más regular en la dirección EW que en la NS. Se observa una clara anisotropía que nos indica que el fenómeno es más regular en la dirección EW que en la NS. (Esto se puede comprobar al mirar como varían las leyes en esas direcciones: ver la figura III.26)

23 Figura III. 35: Datos de leyes de fierro. Al aplicar el algoritmo general se obtienen los gráficos siguientes: Figura III.36: Variograma NS