Área del triángulo inscrito en una circunferencia Dado un triángulo cualquiera ABC, de lados a, b, c, la superficie del mismo es el producto de sus lados dividido por cuatro veces el radio de la circunferencia que lo circunscribe.
Como queríamos demostrar Dado un triángulo cualquiera ABC, de lados a, b, c, la superficie del mismo es el producto de sus lados dividido por cuatro veces el radio de la circunferencia que lo circunscribe. Trazamos desde C un diámetro que acaba en A´. ¿? Los ángulos A y A´son iguales B Aplicamos el Teorema de los senos al triángulo A´BC A´ a h c ¿? Pero “el nuevo” B es recto Por tanto, tenemos R C b Por otra parte, el área del triángulo ABC es A Esto es Como queríamos demostrar
Y, como los ángulos de un triángulo suman 180º, Teorema: Cualquier punto de la circunferencia determina con el diámetro un triángulo rectángulo Tracemos el radio OB B OAB es isósceles ¿? a b OBC también a b O A C Y, como los ángulos de un triángulo suman 180º, Y, así, el triángulo es recto en B
Teorema: En una circunferencia, ángulos correspondientes a arcos iguales son iguales ¿? Basta demostrarlo suponiendo uno de los triángulos con lado igual al diámetro Trazamos un radio ¿? Aparece el ángulo 2a A b T 180-b-x Trazamos otro radio b-x Aparecen b y b x 180-b-x b b-x Aparecen b-x y b-x Observar los ángulos 180-b-x y 180- b-x 2a En el triángulo OAT O De donde a Y, así