Definición de logaritmo: Es el exponente a, al cual se debe elevar la base b para obtener el argumento N Con N y b números reales positivos y b diferente de 1 El 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑵=𝒂 Forma logarítmica Forma exponencial 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏𝟔=𝟒 𝟏𝟔= 𝟐 𝟒 3 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐𝟕= 𝟐𝟕= 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏𝟎𝟎= 𝟏𝟎 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎𝟎=

Propiedades de los logaritmos: Para todo M, N, b>0, b≠0 se cumple que: 1) 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝟏=𝟎 5) 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑴𝑵= 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑴+ 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑵 2) 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒃=1 6) 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑴 𝑵 = 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑴− 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑵 3) 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑴 𝒏 =𝒏 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑴 7) 𝒍𝒐𝒈 𝒆 𝑴=𝐥𝐧 𝐌 ln=logaritmo natural y e= 2.718281… 4) 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒏 𝑴 = 𝟏 𝒏 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑴

Ejemplos donde se utiliza la formula: 𝒅𝒗 𝒗 = 𝐥𝐧 𝒗 +𝑪 Cuando se integra una función cociente 𝝋(𝒙) 𝒈 𝒙 , primero debemos verificar que 𝝋(𝒙) sea menor que 𝒈 𝒙 , si no se cumple lo anterior, entonces procedemos hacer la división algebraica o también ver si se puede simplificar utilizando la factorización. 𝒅𝒙 𝒙−𝟏 𝒗=𝒙−𝟏 𝒅𝒗 𝒅𝒙 =𝟏 𝒅𝒗=𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒙−𝟏 =𝒍𝒏 𝒙−𝟏 +𝑪

𝒅𝒙 𝟐𝒙−𝟑 𝟐𝒅𝒙 𝟐(𝟐𝒙−𝟑) = 𝟏 𝟐 𝟐𝒅𝒙 𝟐𝒙−𝟑 𝒗=𝟐𝒙−3 𝒅𝒗 𝒅𝒙 =𝟐 𝒅𝒗=𝟐𝒅𝒙 𝟐𝒅𝒙 𝟐(𝟐𝒙−𝟑) = 𝟏 𝟐 𝟐𝒅𝒙 𝟐𝒙−𝟑 𝒗=𝟐𝒙−3 𝒅𝒗 𝒅𝒙 =𝟐 𝒅𝒗=𝟐𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 𝟐𝒅𝒙 𝟐𝒙−𝟑 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 𝟐𝒙−𝟑 +𝒄 Aplicando la propiedad 3 de los logaritmos tenemos: La diferencial no esta completa por lo que tenemos que multiplicar y dividir por 2 para completar la diferencial =𝒍𝒏 𝟐𝒙−𝟑 𝟏 𝟐 +𝒄 =𝒍𝒏 𝟐𝒙−𝟑 +𝒄

𝒙𝒅𝒙 𝒙 𝟐 +𝟓 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝟓) = 𝟏 𝟐 𝟐𝒅𝒙 𝒙 𝟐 +𝟓 𝒗= 𝒙 𝟐 +𝟓 𝒅𝒗 𝒅𝒙 =𝟐𝒙 𝒙𝒅𝒙 𝒙 𝟐 +𝟓 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝟓) = 𝟏 𝟐 𝟐𝒅𝒙 𝒙 𝟐 +𝟓 𝒗= 𝒙 𝟐 +𝟓 𝒅𝒗 𝒅𝒙 =𝟐𝒙 𝒅𝒗=𝟐𝒙𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 𝟐𝒅𝒙 𝒙 𝟐 +𝟓 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 𝒙 𝟐 +𝟓 +𝒄 Aplicando la propiedad 3 de los logaritmos tenemos: La diferencial no esta completa por lo que tenemos que multiplicar y dividir por 2 para completar la diferencial =𝒍𝒏 𝒙 𝟐 +𝟓 𝟏 𝟐 +𝒄 =𝒍𝒏 𝒙 𝟐 +𝟓 +𝒄

Se puede observar que el denominador es un trinomio cuadrado perfecto, el cual se puede factorizar y nos queda la siguiente expresión: (𝒙+𝟏)𝒅𝒙 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟏 (𝒙+𝟏)𝒅𝒙 (𝒙+𝟏) 𝟐 (𝒙+𝟏)𝒅𝒙 (𝒙+𝟏)(𝒙+𝟏) 𝒅𝒙 (𝒙+𝟏) 𝒗=𝒙+𝟏 𝒅𝒗 𝒅𝒙 =𝟏 𝒅𝒗=𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙+𝟏 +𝑪

𝟐(𝒙+𝟏)𝒅𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟏) = 𝟏 𝟐 𝟐(𝒙+𝟏)𝒅𝒙 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟏 (𝒙+𝟏)𝒅𝒙 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟏 𝟐(𝒙+𝟏)𝒅𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟏) = 𝟏 𝟐 𝟐(𝒙+𝟏)𝒅𝒙 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟏 𝒗= 𝒙 𝟐 +2x+1 𝒅𝒗 𝒅𝒙 =𝟐𝒙+𝟐 𝒅𝒗=𝟐(𝒙+𝟏)𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 𝟐(𝒙+𝟏)𝒅𝒙 𝒙 𝟐 +𝟓 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟏 +𝒄 Aplicando la propiedad 3 de los logaritmos tenemos: =𝒍𝒏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟏 𝟏 𝟐 +𝒄 La diferencial no esta completa por lo que tenemos que multiplicar y dividir por 2 para completar la diferencial =𝒍𝒏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟏 +𝒄 =𝒍𝒏 (𝒙+𝟏) 𝟐 +𝒄 =𝒍𝒏(𝒙+𝟏)+𝒄

Ejercicios: 𝒅𝒙 𝒙+𝟖 = 𝐥𝐧 𝒙+𝟖 +𝑪 𝒅𝒙 𝟐+𝟑𝒙 = 𝐥𝐧 (𝟐+𝟑𝒙) 𝟏 𝟑 +𝑪 𝒐 𝒍𝒏 𝟑 𝟐+𝟑𝒙 𝟑 𝒙 𝟓 − 𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟑 𝟒 𝒙 𝟒 −𝟔𝐥𝐧 𝒙+𝑪 𝒐 − 𝟑 𝟒 𝒙 𝟒 −𝐥𝐧 𝒙 𝟔 +𝑪