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OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma y resta de polinomios MultiplicaciΓ³n de un monomio por un polinomio MultiplicaciΓ³n de dos polinomios Multiplicaciones especiales Regla de cuadrado y cubo de un binomio Regla del producto de binomios conjugados DivisiΓ³n de polinomios Regla de Ruffini Teorema del resto Divisibilidad π π +π π π βπ π π +π 4 π¦ 5 π π +π π π βπ π π +π
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CALCULOS CON SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Si el antecede al parΓ©ntesis al suprimirlos los tΓ©rminos cambian de signo βπ π π +π π π βπ + ππβ π π +π β βπ π π + π π +ππ = = Si el antecede al parΓ©ntesis al suprimirlos los tΓ©rminos se trascriben igual =βπ π π +π π π βπ + ππβ π π +π + π π π β π π βππ= Se identifican y suman los tΓ©rminos semejantes π π π +π π π +π βπ
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CUENTAS SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
DATOS π¨ π =βπ π π +π π π βπ π π =β π π +ππβπ πͺ π =π π π βππ CALCULAR = π¨ π β π© π + πͺ π = = π¨ π + βπ© π + πͺ π = CΓLCULOS AUXILIAES π¨ π ββπ π π +π π π βπ βπ π β+ π π βππ +π π π β π π π βππ β π π +π π π βπππ +π Restar es igual a sumar el opuesto β π π +ππ π βπππ+π
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EJEMPLOS DATOS π¨ π = π π +π π π +π π π =β π π +ππβπ
πͺ π βπ« π βE(x) = βπ π π +π π π βππ βπ DATOS π¨ π = π π +π π π +π π π =β π π +ππβπ C(x) = βπ π π +π π π βπ D(x)= π π βππ+3 π¬ π =π π π +ππ CALCULAR π¨ π + π© π = = π π +π π π +π+ β π π +ππβπ = π π +π π π +π β π π +ππβπ= = π π π +ππ+ 4 C(x) β βπ π π +π π π βπ βπ«(π) β βπ π +ππ βπ βE(x)β π π β ππ πͺ π βπ« π βE(x)ββπ π π +π π π βππ βπ
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma y resta de polinomios MultiplicaciΓ³n de un monomio por un polinomio MultiplicaciΓ³n de dos polinomios Multiplicaciones especiales Regla de cuadrado y cubo de un binomio Regla del producto de binomios conjugados DivisiΓ³n de polinomios Regla de Ruffini Teorema del resto Divisibilidad π π +π π π βπ π π +π 4 π¦ 5 π π +π π π βπ π π +π
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MULTIPLICACIΓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIOS
β5 π₯ 2 β2π₯+ π₯ 3 +4β3 π₯ 2 = = + π₯ 3 +4π₯β3 π₯ π₯ 2 = Se aplica βpropiedad distributiva Multiplicar en orden Signo NΓΊmero Parte literal CALCULOS AUXILIARES π π .π =π.π.π= π π π π . π π =π.π.π.π.π= π π π π . π π = π.π.π.π=π π +ππ π π βπ π π βππ π π +ππ π π CALCULOS AUXILIARES PP=B π π . π π = π π+π π π .π π = π π π π .π = π π π π . π π = π π π π π +π π π βπ π π
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MULTIPLICACIΓN DE POLINOMIOS
Se aplica βpropiedad distributiva Multiplicar en orden Signo NΓΊmero Parte literal: PP=B π π . π π = π π+π CALCULOS π π π βπ ππ+π = π π π+π π π π βππ+π Suma tΓ©rminos semejantes = π π π +ππ π π βπ π π βππ =π π π +ππ π π βππ Suma tΓ©rminos semejantes = π π βπ π π + π π π+π π π βπππ+π= = π π +π π π β ππ π π+π Suma tΓ©rminos semejantes
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LA CUENTA DE MULTIPLICAR CON POLINOMIOS
DATOS π¨ π =π π π βπ+π π π =ππβπ C(x) = βπ π π +π π π βπ D(x)= π π βππ CALCULAR: π¨ π . π© π = πͺ π . π« π = . βπ π π +π π π βπ π π βππ ππ π π +ππ π π πππ β βππ .πͺ(π) + βπ π π +π π π βπ π π β π π .πͺ(π) βπ π π +ππ π π +ππ π π βπ π π +πππβ π π βππ .πͺ(π) Multiplica variable coeficiente . π π π βπ +π 4πβπ π π +π Suma de tΓ©rminos semejantes βπ π π +π βπ β βπ .π¨(π) π π π βπ + π π π βπ π π +πππ β ππ.π¨(π) π π π βπ π π +πππ βπβ ππβπ .π¨(π)
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma y resta de polinomios MultiplicaciΓ³n de un monomio por un polinomio MultiplicaciΓ³n de dos polinomios Multiplicaciones especiales Regla de cuadrado y cubo de un binomio Regla del producto de binomios conjugados DivisiΓ³n de polinomios Regla de Ruffini Teorema del resto Divisibilidad π π +π π π βπ π π +π 4 π¦ 5 π π +π π π βπ π π +π
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Cuadrado de binomio por definiciΓ³n
Recordar: Es un binomio porque esta formado por dos monomios NO semejantes entonces NO se pueden sumar La potenciaciΓ³n NO es distributiva respecto de la suma Elevar al cuadrado es multiplicar la base por sΓ misma Aplicar propiedad distributiva 4π₯ β5 2 = = El trinomio que resulta del cuadrado de binomio se llama βTrinomio cuadrado perfectoβ 4π₯ β5 4π₯ β5 Base Sumar monomios semejantes 16 π₯ 2 β20π₯ β20π₯ +25 16 π₯ 2 β40π₯ +25
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REGLA DE CUADRADO DE BINOMIO
π΄+π΅ . π΄+π΅ 3π₯ β5 2 = = = π₯ 2 β 30 π₯ π΄+π΅ 2 = 3π₯ 3π₯ 3π₯ β5 β5 π΄ 2 +π΄π΅ +AB + π΅ 2 CUADRADO DEL PRIMER MONOMIO + CUADRADO DEL SEGUNDO MONOMIO π΄ 2 +2π΄π΅ + π΅ 2 + 2VECES EL PRIMERO POR EL SEGUNDO CUADRADO DEL PRIMER MONOMIO + CUADRADO DEL SEGUNDO MONOMIO 3π₯.3π₯ β5 β5 + 2VECES EL PRIMERO POR EL SEGUNDO Multiplicamos signo nΓΊmeros y letras TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
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SoΓ±ando con binomios +14 π₯ 4 +49 π₯ 2 +14 π₯ 4 = 4π₯ 6
Tengo una potencia cuya Base es un binomio y el exponente es 2 Entonces hay que multiplicar la base por sΓ misma En la multiplicaciΓ³n se puede distribuir respecto dela suma (multiplico signo nΓΊmero y letra : recuerda: CP)B π₯ π . π₯ π = π₯ π+π Suma de tΓ©rminos semejantes Listo ya tengo el TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Ahora si lo hago por la Regla Identifico los monomios y los ubico en la siguiente estructura: Multiplico signo nΓΊmero y letra recuerda: PP π₯ π π = π₯ π.π Listo TCP 2 π₯ 3 +7π₯ 2 π₯ 3 +7π₯ 2 π₯ 3 +7π₯ 2 = +14 π₯ 4 +49 π₯ 2 = 4π₯ 6 +14 π₯ 4 = π₯ π₯ π₯ 2 β π₯ 2 +3π₯ 2 = β π₯ β π₯ π₯ + 3π₯ 2 Primer monomio Segundo monomio = π₯ 4 β6 π₯ 3 +9
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Cubo de binomio: La regla
π¨+π© π . π¨+π© π¨+π© π = CUATRINOMIO CUBO PERFECTO = π¨ π +ππ¨.π©+ π© π . π¨+π© = π΄ 3 + 2 π΄ 2 .π΅ +π΄ 2 .π΅ +π΄.π΅ 2 +2π΄.π΅ 2 + π΅ 3 = π΄ 3 +3 π΄ 2 .π΅ + 3π΄.π΅ 2 + π΅ 3 DOS TRIPLES PRODUCTOS ENNTRE EL CUADRADO DE UNO DE LOS MONOMIOS CON EL OTRO CUBO DEL SEGUNDO MONOMIO CUBO DEL PRIMER MONOMIO
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APLICACIΓN DE LA REGLA DE CUBO DE BINOMIO
2π₯ 3 =2.π₯.2.π₯.2.π₯= =8 π₯ 3 2π₯β5 3 = = = = β4π₯β π₯ 2 3 = = =β64 π₯ β 48 π₯ 4 β π₯ β π₯ 6 3 2π₯ 2 β5 = =3.2.π₯.2.π₯. β5 = =β60 π₯ 3 2π₯ 2π₯ - 5 2π₯ - 5 - 5 3.2π₯ β5 2 = =3.2.π₯. β5 β5 = =+150π₯ β125 8 π₯ 3 β π₯ 2 π₯ β4π₯ 3 = β4π₯ β4π₯ β4π₯ = 3 β4π₯ 2 β π₯ 2 = =3. β4π₯ β4π₯ . β π₯ 2 = β4π₯ β4π₯ βπ₯ 2 β4π₯ βπ₯ 2 βπ₯ 2 3. β4π₯ β π₯ = =3. β4π₯ . β π₯ 2 β π₯ 2 =
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PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA RESTA
3π₯+5 3π₯β5 = =9 π₯ 2 β15π₯+15π₯ β25= =9 π₯ 2 β25 π₯ 3 β2π₯ π₯ 3 +2π₯ = = π₯ 6 +2 π₯ 4 β2 π₯ 4 β4 π₯ 2 = π₯ 6 β4 π₯ 2 π΄+π΅ π΄βπ΅ = π΄ 2 +π΄π΅βπ΄π΅β π΅ 2 π΄+π΅ π΄βπ΅ = π΄ β π΅ 2 3+4π₯ 3β4π₯ = β = β 16 π₯ 2 π₯ π₯ 4 β1 = β = π₯ β 1 Diferencia Cuadrado del primer monomio Cuadrado del segundo monomio Usando La regla Es una Diferencia de cuadrados 3 4x π₯ 4 1
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OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma y resta de polinomios MultiplicaciΓ³n de un monomio por un polinomio MultiplicaciΓ³n de dos polinomios Multiplicaciones especiales Regla de cuadrado y cubo de un binomio Regla del producto de binomios conjugados DivisiΓ³n de polinomios Regla de Ruffini Teorema del resto Divisibilidad π π +π π π βπ π π +π 4 π¦ 5 π π +π π π βπ π π +π
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DIVISIΓN 4 π₯ 3 β8 π₯ 2 β5 : 2π₯β3 4 π₯ 3 β8 π₯ 2 +0π₯β5 2π₯ β3 β4 π₯ 3 +6 π₯ 2
4 π₯ 3 β8 π₯ 2 β5 : 2π₯β3 Ordenar y completar el dividendo y ordenar el divisor El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el primero monomio del dividendo con el primero del divisor 4 π₯ 3 :2π₯=2 π₯ 2 Este monomio se lo multiplica por el divisor 2π₯β3 .2 π₯ 2 =4 π₯ 3 β6 π₯ 2 y se resta al dividendo (suma de su opuesto) Se baja el siguiente monomio del dividendo Segundo monomio del cociente β2 π₯ 2 :2x=βx Restar el producto 2π₯β3 . βπ₯ =β2 π₯ 2 +3π₯ tercer monomio del cociente β3π₯ :2π₯=β 3 2 restar el producto 2π₯β3 . β 3 2 =β3π₯+ 9 2 4 π₯ 3 β8 π₯ 2 +0π₯β π₯ β3 β4 π₯ 3 +6 π₯ 2 - 3 2 2 π₯ 2 β x β2 π₯ 2 + 0π₯ Cππππππ‘π +2 π₯ 2 β3π₯ Grado del cociente = grado del dividendo β grado del divisor β3π₯ β5 +3π₯β 9 2 β 19 2 Rππ π‘π
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DivisiΓ³n de dos polinomios paso a paso
(x5β10x3 +4x2β4):( x3+3x2) Dividendo ordenado y completo divisor ordenado π₯ 5 : π₯ 3 = π₯ 2 π₯ 3 +3 π₯ π₯ 2 = π₯ 5 +3 π₯ 4 π₯ π₯ 4 β10 π₯ π₯ 2 +0x β π₯ π₯ 2 β π₯ 5 β3 π₯ 4 π₯ 2 β3π₯ β1 β3 π₯ 4 : π₯ 3 =β3π₯ β3 π₯ 4 β10 π₯ 3 Cππππππ‘π π₯ 3 +3 π₯ β3π₯ = β3π₯ 4 β9 π₯ 3 +3π₯ π₯ 3 Grado del cociente = grado del dividendo β grado del divisor β π₯ 3 : π₯ 3 =β1 βπ₯ 3 + 4 π₯ 2 +π₯ π₯ 2 π₯ 3 +3 π₯ β1 = βπ₯ 3 β3 π₯ 2 7 π₯ 2 +0x β 4 Rππ π‘π
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DIVISIONES ESPECIALES D(x) : (x +π) REGLA DE RUFFINI
(2x3β4x + 20):( x+3) Termino independiente cambiado de signo Coeficientes del dividendo ordenado y completo π π₯ π₯ 2 βπx + 20 π₯+π + π βπ ππ β ππ₯ β2 π₯ 3 β 6 π₯ 2 ππ₯ 2 +ππ βπ β6 +18 β42 β ππ₯ β4π₯ βππ Cππππππ‘π π βπ +ππ 6π₯ π₯ Grado del cociente = grado del dividendo β grado del divisor Rππ π‘π πππ₯ +20 β14π₯ β42 ππ₯ 2 βπ π₯+ππ βππ Cππππππ‘π Rππ π‘π
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APLICACIΓN DE LA REGLA DE RUFFINI Y VERIFICACIΓN
Dividendo β D(x)=2x3+1x2β3x (de grado 3) divisor βd(x) = x β (de grado 1) Cocienteβ"grado = 3 β 1= 2"βC(x)=2x2+3x Resto β R = 5 VerificaciΓ³n β D(x)= C(x). D(x) + R = 2x2+3x . π₯β = =2x3β 2x2+ 3x2β3x + 5 = =2x3 + x2 β3x + 5
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TEOREMA DEL RESTO PARA DIVISIONES DEL TIPO D(x) : (x +π)
ENUNCIADO: El valor numΓ©rico del dividendo D(x) para x = βπ , coincide con el resto de la divisiΓ³n D(x): (x + π) Divisor π π₯ =π₯ βπ 3 β β β 9 8 6 6 π 3 4 3 β3 Cociente πΆ π₯ =3 π₯ 2 +4π₯ + 3 π·ππ£ππππππ π· π₯ =πΆ π₯ :π π₯ +π
VerificaciΓ³n : π·ππ£ππππππ π· π₯ = 3 π₯ 2 +4π₯ π₯β2 +(β3) π£ππππ ππ’πΓ©ππππ π· π₯=2 = β2 +(β3) π£ππππ ππ’πΓ©ππππ π· π₯=2 =23.0+(β3) = -3 π· π₯=2 =β3 π
ππ π‘π ππ ππ πππ£ππ πΓ³ π· π₯ : (x β 2)
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APLICACIΓN DEL TEOREMA DEL RESTO
Elije la respuesta correcta Si a P(x)= β π₯ π₯ lo dividimos por x+1 el resto es: P(x=-1) = β β β =β1+2+3=6 entonces Resto = 6 CuΓ‘l es el binomio que al dividir a π π₯ = π₯ 3 β5π₯+2 tiene resto R= -10 Q(3)= Q(-1)= Q(-3)= -10 entonces si a Q(x) : (x+3) el esto es -10 Cuando a R(x)= β2 π₯ 3 +π² π₯ 2 βπ₯+1 se lo divide por x β 2 el resto es 3 , entonces K= R(2)=3 βπ π² .2 2 β2+1= β16+π². 4 β1= π=βππ 6 4 nra x - 3 x -1 x + 3 nra -10 10 -1 nra
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DIVISIBILIDAD Cuando decimo que 12 es divisible por 3 es porque la divisiΓ³n entre 12 y 3 tiene resto βceroβ. Esta nociΓ³n de divisibilidad entre nΓΊmeros enteros sigue siendo vΓ‘lida para la divisibilidad de polinomios. 5 π₯ 4 β3 π₯ 3 +2 π₯ 2 β7π₯+3 es divisible por π₯+1 ya que: Si P(x) es divisible por π₯+π entonces R=0 entonces P(β π ) = 0 entonces x =βπ es raΓz de P(x) EJEMPLO x = -2 es raΓz de Q(x) = π₯ 3 β3π₯+2 ya que Q(-2)=0 SegΓΊn el Teorema del resto: el resto de Q(x) : π₯+2 es R = Q(-2) y Q(2)= 0 Entonces Q(x) es divisible por π₯+2
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