Dra. María Noel Morales Boezio Geoestadística Aplicada Presentación/Interpolación Curso de Grado 2018

Dra. María Noel Morales Boezio Estructura de la presentación Bibliografía Introducción Interpolación – elementos Métodos de interpolación no Geoestadísticos Vecino más próximo, Vecino natural, Triangulación, Medias locales, Inverso de la distancia, Funciones de base radial, Mínima curvatura (splines), Interpolación bilineal, Convolución cúbica. Cuantificación Softwares - interpolación no Geoestadística. 2

Dra. María Noel Morales Boezio Bibliografía Algunos Clásicos: ● ISAAKS, E.H. & SRIVASTAVA, M.R An Introduction to Applied Geostatistics, Oxford University Press, New York, 561 p. ● GOOVAERTS, P Geostatistics for Natural Resources Evaluation, Oxford University Press, New York, 483 p. ● CHILES, J.P. & DELFINER, P Geostatistics. Modelling Spatial Uncertainty, John Willey & Sons, Inc., New York, 704p. Material en español: ● EMERY, X Apunte de geoestadística. Ingeniería de Minas. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile. 144p. Software Sgems: ● REMY, N., BOUCHER, A. & WU, J SGeMS User’s Guide, Documento interno Stanford University, California, 129p. 3

Dra. María Noel Morales Boezio Cuál es el problema a resolver? Determinar valores de un atributo en ubicaciones que no fueron muestreadas a partir de valores muestreados en otras ubicaciones. La determinación puede realizarse en ubicaciones aisladas, o en mallas regulares. Si la determinación se realiza en mallas regulares, es más sencillo representar los valores determinados en mapas (de bloques 2D, 3D, de contornos, de relieve, etc. ) Los valores desconocidos se determinan por interpolación. 4

Dra. María Noel Morales Boezio 5 Modelo de bloques 2D, superpuesto a los datos experimentales. Mapa de contorno a partir de estimativas puntuales Modelo de bloques 3D obtenido a partir de sondeos.

Dra. María Noel Morales Boezio Qué muestras contribuyen para determinar el valor del bloque gris? Cada una de las muestras dentro del círculo recibirá un peso y contribuye a determinar el valor del bloque gris. 6

Dra. María Noel Morales Boezio Ley de Tobler – Primera ley de la geografía 1970 “ Todas las cosas están relacionadas entre sí, pero las cosas más próximas en el espacio tienen una relación mayor que las distantes ” Concepto de Autocorrelación: Se refiere al grado de dependencia que existe entre observaciones de una misma variable en el espacio. Propiedades más parecidas Mayor autocorrelación 7

Dra. María Noel Morales Boezio Definición y aplicaciones Geoestadística: conjunto de técnicas estadísticas utilizadas para analizar y estimar valores de una variable, distribuidos y físicamente correlacionados en el espacio o en el tiempo, como por ejemplo, la mayoría de los datos en el área de geociencias y datos de sistemas de información geográficos. Aplicaciones: Minería, industria petrolera, oceanografía, hidrogeología, pesca, medio ambiente, agricultura, silvicultura, ingeniería civil, procesamiento de imágenes, salud pública, meteorología, etc. 8

Dra. María Noel Morales Boezio Por qué utilizar geoestadística? La geoestadística no es estadística de datos “geológicos”, sino de datos “georeferenciados”. La estadística clásica utiliza variables aleatorias, las cuales son funciones reales cuyo dominio es el espacio de probabilidad. A veces vistas como resultado de eventos aleatorios. En el caso de la geoestadística, la información no proviene de eventos aleatorios: la zona más mineralizada la zona con mayor concentración de contaminantes Existe dependencia espacial. 9

Dra. María Noel Morales Boezio Expectativas erróneas Sustituir la información verdadera La mejor forma de obtener un modelo de bloques sería muestrear absolutamente todo el depósito. Sustituir el correcto entendimiento del problema físico en estudio. Funcionar como una caja negra Utilización indebida de softwares. Reducir el tiempo de trabajo. 10

Dra. María Noel Morales Boezio Interpolación Para obtener el valor que toma una variable en un lugar desconocido se deben definir los siguientes elementos: Malla de interpolación y soporte (puntual, celda, cubo) Vecindad y estrategias de búsqueda de la información conocida Dominio: consideración de que las muestras pertenecen a una misma población, dominios estructurales, fallas, barreras, etc. Interpolador – Método de interpolación 11

Dra. María Noel Morales Boezio Malla de interpolación La malla está formada por bloques y puntos (nodos). Debe cubrir el área de interés. Se debe determinar el tamaño de la celda. Regla común es no discretizar más que en ¼ del espaciamiento medio entre muestras, para cada dirección. Las estimativas en puntos permiten elaborar mapas de contorno. Las estimativas en bloques implican una comprensión mayor del concepto de “cambio de soporte”. Importancia del cambio de soporte depende de la aplicación. 12

Dra. María Noel Morales Boezio Vecindad y estrategias de búsqueda La vecindad y estrategias de búsqueda son las que van a determinar qué muestras serán seleccionadas para el cálculo del valor del atributo en un lugar desconocido. Dependiendo del método de interpolación la elección de estos parámetros puede ser crítica. Acota tendencias (drifts) Elipsoide de búsqueda - anisotropía Búsqueda por cuadrantes y octantes. Número máximo y mínimo de muestras, total, cuadrante, octante. 13

Dra. María Noel Morales Boezio Dominios Para interpolar, deben utilizarse muestras pertenecientes a un mismo dominio. Aspectos estructurales Se realizan estudios poblacionales, análisis de contacto, etc. 14

Dra. María Noel Morales Boezio Interpolación Los valores desconocidos son generalmente determinados utilizando una combinación lineal ponderada. 15  Cada bloque se estima utilizando la información circundante, utilizando una combinación lineal.  En este caso el área de búsqueda está dada por un círculo de radio R.  El valor que se asigna al bloque gris, es la combinación lineal de los valores de los lugares indicados con colores.  , , ,… son los pesos que se asignan a cada muestra

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Métodos de interpolación: Vecino más próximo Vecino natural Triangulación Medias locales Inverso de la distancia Funciones de base radial Mínima curvatura (splines) Interpolación bilineal Convolución cúbica Generalmente son llamados métodos NO Geoestadísticos. 16

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos  Vecino más próximo (Nearest Neighbor)  El nodo (o bloque) toma el valor de la muestra experimental más cercana. 17

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos  Vecino Natural (Natural Neighbor)  Método poligonal  Se realizan los polígonos de Thiessen (polígonos de Voronoi)  Los valores experimentales se ponderan por la proporción 18

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Triangulación TIN – Triangular Irregular Network Basado en la generación previa de triángulos cuyos vértices coinciden con los lugares donde se tomaron muestras. Triangulación de Delaunay. A cada triángulo se le asigna el valor promedio de los valores en los vértices que lo componen. 19

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Cuál triangulación es la correcta? 20

Dra. María Noel Morales Boezio Maximización del ángulo mínimo 21 El menor ángulo de una configuración debe ser lo mayor posible.

Dra. María Noel Morales Boezio Circunferencias que pasen por 3 puntos 22 Una circunferencia que pase por 3 puntos debe contener a un único triángulo.

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Triangulación de Delaunay a partir de polígonos de Voronoi 23

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos TIN – Triangular irregular network MDT Triángulos con pendiente en el espacio. Superpuesto a una malla de interpolación se puede generar un modelo de puntos o bloques. 24

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Medias locales (Moving media) Mayor información circundante Todas las muestras en la vecindad reciben el mismo peso. El valor estimado en el punto rojo es el promedio de las muestras en el interior de la vecindad. Valor estimado =238 25

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Inverso de la distancia (IDW) Muestras más próximas reciben mayor peso. 26 Muestra distanci a1/dM*1/d 5080,422,401219,20 100,901,1111, ,0812,006396,00 60,333,0018,00 130,751,3317,33 10,731, ,781,28314, ,901,11562, ,781,28403,40 24,878942, /x

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Muestra distanci a1/d 2 M*1/d ,425,762926,08 100,901,2312, ,08144, ,00 60,339,0054,00 130,751,7823,11 10,731, ,781,63400, ,901,23624, ,781,63514,98 168, , Inverso de la distancia al cuadrado (IDW) Al elevar a la potencia se le otorga mayor peso a las muestras más próximas 1/x 2

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Funciones de base radial Resultados más suavizados. Fenómenos continuos. Extrapolación fuera del rango de datos original. Elección arbitraria de las funciones de base radial. El peso es dado por medio de funciones que tienden a cero con el aumento de la distancia. Transiciones menos abruptas que en el caso de IDW 28

Dra. María Noel Morales Boezio 29 Funciones Inversas Cuadráticas (IQ)

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Mínima curvatura (splines) Resultados más suavizados. Fenómenos continuos. Extrapolación fuera del rango de datos original. A diferencia de las funciones de base radial, en este algoritmo, dados dos puntos, busca la función que provea la mínima curvatura. 30

Dra. María Noel Morales Boezio 31 Funciones de base radial Mínima curvatura Semejanza en interpolación Diferencia en extrapolación Función cúbica

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Interpolación bilineal Muestras en mallas regulares. Se utilizan las 4 muestras más próximas Fenómenos continuos. Se pondera cada muestra por la proporción de distancia. 32

Dra. María Noel Morales Boezio Métodos de interpolación no geoestadísticos Se pondera por el área de influencia de la muestra opuesta. La interpolación bilineal no es lineal sino cuadrática. 33

Dra. María Noel Morales Boezio  Convolución cúbica  Similar a bilineal  Muestras en mallas regulares  Se utilizan las 16 muestras más próximas  Fenómenos continuos  Se pondera cada muestra de acuerdo a la distancia, pero no de forma lineal como en el caso anterior. 34 Métodos de interpolación no geoestadísticos

Dra. María Noel Morales Boezio 35

Dra. María Noel Morales Boezio Cuantificación  Cuánto hay en total?  Cuál es la concentración o el valor promedio? Combinación lineal ponderada 36 Método poligonal

Dra. María Noel Morales Boezio Cuantificación 37 Triangulación

Dra. María Noel Morales Boezio Implementación computacional Surfer IDW, Media local, Vecino más próximo, Vecino natural, Mínima curvatura, Funciones de base radial, Triangulación Puntos ArcGis IDW, Vecino más próximo, Vecino Natural, Spline, Triangulación, Bilineal, Convolución cúbica. Puntos y bloques (raster) Qgis IDW, Triangulación Bloques (raster) Isatis IDW, Media local, Mediana local, Vecino más próximo Puntos y bloques etc. 38

Dra. María Noel Morales Boezio Puntos a mapa de contorno A partir de una malla de puntos estimados se pueden construir mapas de isovalores (mapas de contorno). 39 Interpolación lineal simple

Dra. María Noel Morales Boezio Consideraciones finales acerca de los métodos no geoestadísticos Pueden utilizarse cuando las variables no son regionalizadas. Modelo de autocorrelación implicito (efecto pepita puro, lineal, 1/x) No todos son interpoladores exactos Métodos determinísticos (no permiten medir el error) Los métodos geoestadísticos proveen interpoladores BLUE (best linear unbiased estimator), en los cuales la media del error es nulo y la varianza del error es mínima. 40

Dra. María Noel Morales Boezio Geoestadística Curso introductorio–Presentación/Interpolación Montevideo, 2017