Distribucions importants en Inferència estadística Diplomatura d’Estadística Estadística Matemàtica I Jordi Ocaña Rebull Departament d’Estadística Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques Punts que tractarem: Distribució khi-quadrat Definició, principals propietats, gènesi, taules Distribució t de Student Distribució F de Fisher-Snedecor Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució khi-quadrat. Definició Direm que la v.a. Y, absolutament contínua, té distribució “khi-quadrat” amb n graus de llibertat, Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució khi-quadrat. Densitat per diversos g.d.ll. Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució khi-quadrat. Propietats Cas particular de la gamma, amb l = 1/2 i p = n/2: Tots els moments finits, amb valor: En particular Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució khi-quadrat. Propietats Reproductibilitat: si Y1 i Y2 són estocàsticament independents, Funció característica: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució khi-quadrat. Per què és important? Distribució “artificial”, normalment no trobarem al “món real” cap variable aleatòria que “sigui” c2 !. Però ... en Inferència estadística, sovint hi ha la necessitat de determinar la distribució de sumes de quadrats de v.a. normals independents: aquestes distribucions estan molt relacionades amb la c2. En concret: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució khi-quadrat. Sumes de quadrats de N(0,1) Si És conseqüència (casi) immediata de les propietats de la funció característica: f. característica de y la de la suma és Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució khi-quadrat. Taules de la khi-quadrat Per uns graus de llibertat n i un valor de probabilitat a, donen el valor tal que Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució khi-quadrat. Fórmules aproximades Si n és gran (n  100), no serà a les taules. Podem utilitzar l’aproximació Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució khi-quadrat. Fórmules aproximades Aproximació més precisa al valor crític: Càlcul de la funció de distribució: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució t de Student. Definició Direm que la v.a. Y, absolutament contínua, té distribució “t de Student” amb n graus de llibertat, amb n  +, Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució t de Student. Gràfic de la funció de densitat Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució t de Student. Propietats Si n=1 tenim la distribució de Cauchy Unimodal i simètrica respecte de 0 Tot moment d’ordre inferior a n és finit Si n>1 existeix E(Y) (i és 0) Si n>2 existeix var(Y) = E(Y2) = n/(n-2) En general, per 1 < 2n < n: E(Y 2n-1) = 0 i Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució t de Student. Propietats Funció característica: Aproximació a la normal: Propietat fonamental: donades dues v.a. independents Z ~ N(0,1) i X ~ c2(n), la v.a. Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució t de Student. Taula per “dues cues” La taula més habitualment utilitzada, per un determinat nombre de g.d.ll. n i per una probabilitat a, indica el valor ta(n) tal que, si Y ~ t(n), Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució F de Fisher-Snedecor. Definició Una v.a. Y, absolutament contínua, té distribució “F de Fisher-Snedecor” amb m g.d.ll al numerador i n g.d.ll. al denominador, Y ~ F(m,n), si la seva funció de densitat és Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució F de Fisher-Snedecor. Algunes densitats Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució F de Fisher-Snedecor. Propietats Esperança finita si n > 2: Variància finita si n > 4: Unimodal si m > 2, amb moda: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució F de Fisher-Snedecor. Propietat fonamental Raó per la qual la distribució F és fonamental en Anàlisi de la variància i altres parts de la Inferència estadística: Per tant, si Y ~F(m,n), 1/Y~F(n,m) Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

Distribució F de Fisher-Snedecor. Taules Per una probabilitat a, i graus de llibertat m i n, si Y~F(m,n), donen Fa(m,n) t.q. Pr{Y > Fa(m,n)}=a El “valor crític” per la cua esquerra es pot trobar a partir de: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques