Tema 5: Nombres naturals i enters

1. Nombres naturals Els nombres naturals són aquells nombres que utilitzem per comptar: 1,2,3,4,5…

1.1 Operacions amb nombres naturals Ja sabem fer qualsevol operació amb nombres naturals. 4+5=9 45-15=30 7x8=56 35:7=5 La multiplicació també es pot expressar amb un punt volat 7·8=56 La divisió també es pot expressar amb una barra inclinada o amb una fracció: 35/7=5 𝟑𝟓 𝟕 = 35

1.1 Operacions amb nombres naturals Quan tenim una potència, és a dir, un nombre elevat a un altre, es multiplica la base tantes vegades com digui l’exponent: 5³=5·5·5=125 Per fer càlculs en què es combinen diverses operacions: 1r Parèntesis 2n potències 3r Multiplicacions i divisions 4t Sumes i restes 4²-5·(6-3)+(12:6)³= 4²-5·3+2³=16+5·3+8=16-15+8=1+8=9

1.1 Operacions amb nombres naturals Exercici 1. Fes les següents operacions combinades (Sense emprar la calculadora) 10·5-9 2·3³ 100-(4²-6) (14-6):2² (120:12)²-9 4·(5-10:5)

1.2 Múltiples d’un nombre Un nombre és múltiple d’un altre si el conté un nombre enter de vegades. 42 és múltiple de 6 perquè el conté 7 vegades. 15 no és múltiple de 2 perquè el conté 7,5 vegades (no enter) Exercici 2. Completa: 35 _____ múltiple de 7 perquè el conté _____ vegades. 40 _____ múltiple de 3 perquè el conté _____ vegades. 20 _____ múltiple de 4 perquè el conté _____ vegades. 81 _____ múltiple de 6 perquè el conté _____ vegades.

1.3 divisors d’un nombre Un nombre a és divisor d’un nombre b si la divisió b:a és exacta. 6 és divisor de 42 perquè 42:6=7 2 no és divisor de 15 perquè 15:2=7,5 (divisió no exacta) Exercici 3. Completa: 7 _____ divisor de 35 perquè _____=_____ 3 _____ divisor de 40 perquè _____=_____ 4 _____ divisor de 20 perquè _____=_____ 6 _____ divisor de 81 perquè _____=_____

1.3 divisors d’un nombre Tots els nombres tenen com a divisor 1 perquè sempre es compleix que: a:1=a Tots els nombres tenen com a divisor a ell mateix perquè sempre es compleix que: a:a=1 Per tant tots els nombres naturals tenen almenys dos divisors, excepte el nombre 1.

1.4 Criteris de divisibilitat Divisibilitat per 2 Un nombre només és divisible per 2 si és parell. 36, 38, 2, 128, 344 són divisibles per 2 47, 5, 455, 369, 1001 no són divisibles per 2

1.4 Criteris de divisibilitat Divisibilitat per 3 Un nombre només és divisible per 3 si la suma dels seus dígits és un múltiple de 3. 126 és divisible entre 3 perquè 1+2+6=9 que és un múltiple de 3 1122 és múltiple de 3 perquè 1+1+2+2=6 que és un múltiple de 3 798 és múltiple de 3 perquè 7+9+8=24 que és un múltiple de 3 857 NO és múltiple de 3 perquè 8+5+7=20 que NO és múltiple de 3

1.4 Criteris de divisibilitat Divisibilitat per 5 Un nombre només és divisible per 5 si acaba en zero o en 5. 140 és divisible entre 5 perquè acaba en zero. 1475 és múltiple de 5 perquè acaba en 5 857 NO és múltiple de 5 perquè NO acaba ni en zero ni en 5

1.4 Criteris de divisibilitat Exercici 4: Completa la taula dient si són divisibles entre 2, 3 i 5 Divisible entre 2 Divisible entre 3 Divisible entre 5 1000 Sí No 36 120 17 25 15 22 51

1.4 Criteris de divisibilitat Exercici 5: Inventa’t nombres que compleixin la taula no pots utilitzar els nombres de l’exercici 4. Divisible entre 2 Divisible entre 3 Divisible entre 5 No Sí

1.5 nombres primers i compostos Abans hem dit que tots els nombres excepte l’1 tenen almenys dos divisors, però hi ha molts que en tenen més. Per exemple: 4 té com a divisors 1,2 i 4 15 té com a divisors 1,3,5,15 19 té com a divisors 1,19 Els nombres (com el 19) que només tenen dos divisors s’anomenen primers. Els nombres amb més de dos divisors són compostos. Els nombres primers són molt importants perquè ens serveixen per a factoritzar. Els nombres primers menors de 50 són: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47

1.6 Factorització de nombres Tot nombre té una descomposició única en factors primers. Trobar la descomposició en factors primers d’un nombre s’anomena factoritzar. Per a factoritzar un nombre anem dividint pels nombres primers que siguen divisors seus fins que obtenim un 1. La factorització és la multiplicació de tots els nombres de la dreta: 𝟒𝟑𝟐=𝟐·𝟐·𝟐·𝟐·𝟑·𝟑·𝟑= 𝟐 𝟒 · 𝟑 𝟑 𝟐𝟓𝟐𝟎=𝟐·𝟐·𝟐·𝟑·𝟑·𝟓·𝟕= 𝟐 𝟑 · 𝟑 𝟐 ·𝟓·𝟕

1.6 Factorització de nombres Exercici 6. Factoritza els següents nombres: a)48 f)315 b)18 g)286 d)105 h)288 c)28 i)290 e)135 j)292

1.7 màxim comú divisor (mcd) El nombre 18 té com a factorització: 2·3·3 El nombre 30 té com a factorització 2·3·5 Els factors que es repeteixen són: 2·3 6 és el divisor més gran de tots dos. El nombre 40 té com a factorització: 2·2·2·5 El nombre 140 té com a factorització: 2·2·5·7 Els factors que es repeteixen són: 2·2·5 20 és el divisor més gran de tots dos

1.7 màxim comú divisor (mcd) Obtenir el Màxim comú divisor Exemple MCD(135,315) Factoritzem els dos nombres 135=3·3·3·5 315=3·3·5·7 Agafem els factors que siguin iguals 3·3·5 Fem la multiplicació MCD(135,315)=45 NOTA: Si no hi ha cap factor comú el MCD = 1

1.7 màxim comú divisor (mcd) Exercici 7. Obtin els màxims comuns divisors següents: MCD(15,20) f) MCD(56,22) MCD(35,42) g) MCD(112, 49) MCD(16,25) h) MCD(630,96) MCD(45,15) i) MCD (510,420) MCD(22,55) j) MCD(525,532)

1.8 mínim comú múltiple (mcm) El nombre 18 té com a factorització: 2·3·3 El nombre 30 té com a factorització 2·3·5 Els factors que hi ha en total són 2·3·3·5 90 és el múltiple de tots dos més petit El nombre 40 té com a factorització: 2·2·2·5 El nombre 140 té com a factorització: 2·2·5·7 Els factors que hi ha en total són 2·2·2·5·7 280 és el múltiple de tots dos més petit.

1.8 Mínim comú múltiple (MCM) Obtenir el Mínim comú múltiple Exemple MCM(135,315) Factoritzem els dos nombres 135=3·3·3·5 315=3·3·5·7 Agafem tots els factors però els que estan repetits en els dos nombres nomes un cop. 3·3·3·5·7 Fem la multiplicació MCM(135,315)=945

1.8 mínim comú Múltiple (mcM) Exercici 8. Obtin els màxims comuns múltiples següents: MCM(15,20) f) MCM(56,22) MCM(35,42) g) MCM(112, 49) MCM(16,25) h) MCM(630,96) MCM(45,15) i) MCM(510,420) MCM(22,55) j) MCM(525,532)

2. Nombres Enters Són aquells nombres que utilitzem per comptar, els seus negatius i el zero. …-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5…

2.1 suma de nombres enters La suma de dos nombres enters és fa de diferent manera segons els signes dels sumands. Si els dos termes tenen el mateix signe: Se sumen i es posa el signe comú (-3) + (-2) = -5 2 + 7 = 9 Si els dos termes tenen diferent signe Es resten i es posa el signe del que té més valor (-5) + 3 = -2 8 + (-7) = 1 (-7) + 9 = 2 2 + (-6) = -4

2.2 resta de nombres enters La resta de dos nombres enters sempre es pot transformar a una suma. S’agafa el segon terme i es canvia el signe i s’agafa el signe de resta i es canvia per una suma. 8 – 5 = 8 + (-5) = 3 7 – (-3) = 7 + 3 = 10 (-9) – 5 = (-9) + (-5) = -14 (-4) – (-3) = (-4) + 3 = -1 2 – 10 = 2 + (-10) = -8 3 – (-6) = 3 + 6 = 9 (-6) – 11 = (-6) + (-11) = -17 (-1) – (-5) = (-1) + 5 = 4

2.2 resta de nombres enters Exercici 9. Efectua les següents sumes de nombres enters 2 + (-2) d) (-5) + (-5) 4 + 7 e) 4 + (-12) (-14) + (-1) f) (-9) + 6 Exercici 10. Efectua les següents restes de nombres enters 2 - (-2) d) (-5) - (-5) 4 - 7 e) 4 - (-12) (-14) - (-1) f) (-9) - 6

2.3 Multiplicació de nombres enters L’únic que hem de tenir en compte quan multipliquem és el signe! Per multiplicar nombres enters Fem la multiplicació com si fossin naturals Posem el signe segons la taula: + · + = + 7·9 = 63 + · - = - 8 ·(-4) = -32 - · + = - (-3) ·7 = -21 - · - = + (-2) · (-4) = 8 És a dir, si tenen el mateix signe el resultat és positiu i si no, és negatiu

2.4 divisió de nombres enters Igual que en la multiplicació, l’únic que hem de tenir en compte quan dividim és el signe! Per dividir nombres enters Fem la divisió com si fossin naturals Posem el signe segons la taula: + : + = + 63 : 9 = 7 + : - = - 32 : (-4) = -8 - : + = - (-21) : 7 = -3 - : - = + (-8) : (-4) = 2 És a dir, si tenen el mateix signe el resultat és positiu i si no, és negatiu

2.4 divisió de nombres enters Exercici 11. Efectua les següents multiplicacions de nombres enters 2 · (-2) d) (-5) · (-5) 4 · 7 e) 4 · (-2) (-14) · (-1) f) (-9) · 6 Exercici 12. Efectua les següents divisions de nombres enters 4 : (-2) d) (-55) : (-5) 28 : 7 e) 12 : (-4) (-14) : (-1) f) (-54) : 6

2.5 Exercicis Exercici 13. Efectua les següents operacions de nombres enters, no utilitzes la calculadora. 7 + (-3) i) (-15) : (-3) 42 : 7 j) 31 · (-3) (-4) · (-2) k) (-9) - 6 (-27) : 3 l) 18 + (-14) (-1) – (-9) m) 30 : (-6) (-52) + 12 n) (-10) · (-2) 7 · 7 o) (-100) – 1 (-45) : 9 p) 45 + (-15)

2.5 Exercicis Exercici 14. Efectua els següents mínims comuns múltiples o màxims comuns divisors (No t’equivoquis!) MCM (7,3) i) MCM(8,4) MCD (42,15) j) MCD (43,16) MCM (6,20) k) MCM (7,21) MCD (75,85) l) MCD (76,86) MCM (1,8) m) MCM (2,9) MCD (1,8) n) MCD (2,9) MCM (56,4) o) MCM (57,5) MCD (14, 30) p) MCD (15,31)