Introducción a los logaritmos ¿LOGA… QUÉ? Introducción a los logaritmos Fuente: http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_logaritmos.htm

¿Cuándo surgen? ¿Para qué? En el s. XVII se acomete el estudio preciso de las leyes naturales (con las funciones) y de sus variaciones (con el Cálculo Diferencial). Pero se trataba de conceptos teóricos que debían aplicarse a medidas experimentales, sobre las que luego había que realizar cálculos laboriosos. Se ponían en evidencia dos requisitos importantes: Disponer de un sistema universal de medidas Se consigue en 1792, cuando la Academia de Ciencias de París establece el Sistema Métrico Decimal, un triunfo imperecedero del racionalismo impuesto por la Revolución Francesa (ver grabado de la derecha).; Mejorar la capacidad de cálculo. Tanto en rapidez como en precisión, era una línea de avance permanente desde el siglo XV, que había fructificado ya en el siglo XVI en un concepto decisivo: el logaritmo. Los logaritmos se inventaron con el propósito de simplificar, en especial a los astrónomos, las engorrosas multiplicaciones, divisiones y raíces de números con muchas cifras.

Los logaritmos son los exponentes El concepto de logaritmo se debe al suizo Jorst Bürgi y su nombre tiene un significado muy explicativo: logaritmo significa “número para el cálculo”. El escocés John Napier (en la foto) enseguida lo aprovechó para publicar en 1614 su obra “Mirifici logaithmorum canonis descriptio” (descripción de la maravillosa regla de los logaritmos) con las primeras tablas de logaritmos para el seno y el coseno de un ángulo a intervalos de 1’ y con siete cifras. Pero veamos cuál fue su genial idea. Veámoslo, observando la tabla de las 30 primeras potencias de 2: Pero estos números están preparados, ¡son todo potencias de 2! La idea clave: trabajar con los exponentes de potencias es más fácil 20 = 1         21 = 2       22 = 4            23 = 8          24 = 16 25 = 32       26 = 64     27 = 128        28 = 256       29 = 512 210 = 1024                  211 = 2048               212 = 4096    213  = 8192                 214  = 16384             215 = 32768           216 = 65536                217 = 131072            218 = 262144   219 = 524288              220 = 1048576          221 = 2097152         222 = 4194304            223 = 8388608          224 = 16777216 225 = 33554432          226 = 67108864         227 = 134217728 228  = 268435456        229  = 536870912 Los logaritmos convierten las operaciones en otras más sencillas: ·  + :  - ()n  ·  + Ahora calculamos:       32768 · 16384 = 215 · 214 = 215+14 =  229= 536870912  268435456 : 1048576 = 228 : 220= 228-20 = 28 = 256      5123 =  (29)3 = 29·3 = 227  = 134217728   √67108864 =   √ 226 = 226:2 = 213  = 819

Los logaritmos son los exponentes Si los números con los que hay que operar no están entre esas potencias de 2, ¿qué se hace? La respuesta es que esos nuevos números, y cualesquiera otros positivos, aunque no estén en la tabla dada de potencias de 2, también pueden expresarse como potencias de 2 ... con exponentes racionales. ¡Incluso se pueden usar otras bases! Por ejemplo:   678.314 x 15.432.099 678.314 =  2 19,371594        15.432.099 = 2 23,879431 =  2 19,371594 x 2 23,879431  = = 2 19,371594 + 23,879431 = = 2 43,251025 = 1,0467811·1013 5 se puede expresar como potencia de base 2:   5 = 2 2,3219281  se dice que el logaritmo de 5 en base 2 es 2,3219281:   log 2 5 =  2,3219281  5 se puede expresar como potencia de base 10:  5 = 10 0,69897  se dice que el logaritmo de 5 en base 10 es 0,69897 :    log 10 5 =  0,69897  5 se puede expresar como potencia de base 3:     5 = 3 ? calcular ese exponente será calcular el logaritmo de 5 en base 3 .

Definición formal de logaritmo Propiedad: Si  a  es un número positivo distinto de 1, cualquier número real positivo N se puede expresar como potencia de  a con un exponente racional  x .   N = a x Esta forma de escribir un número  N  se dice que es su notación potencial o logarítmica. Definición: El logaritmo en base  a  de un número  N  es el exponente al que hay que elevar la base  a  para que dé dicho número.            N = a x  < === >   x = log a N  Por ejemplo:   2 5 = 32 log 2 32 = 5 10 4 = 10 000 log 10 10 000 = 4 10 -3 = 0, 001 log 10 0, 001 = -3 ¿log 2 -32 = ? Notación: De todas las bases posibles, para los logaritmos se usa preferentemente la base 10. Se les llama logaritmos decimales y se representan sin necesidad de escribir la base. log x  = log 10 x 

Logaritmos neperianos Si se adoptó la base de logaritmos decimal fue por analogía con nuestro sistema de numeración, basado en los dedos de las manos. Pero, después de estudiar diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento en la Naturaleza (por ejemplo: aumento de una población de bacterias, desintegración radiactiva, etc.), se observó que una y otra vez aparecían las potencias de un número irracional al que se llamó el “ número e ”: Para estudiar esos fenómenos son muy útiles los logaritmos cuya base es el número  e , llamados logaritmos neperianos  en honor de John Neper.  Se representan así:   ln x = log e x  .

Aplicaciones Los logaritmos hoy ya no son necesarios para hacer grandes cálculos; gracias a la microelectrónica es posible hacerlos de forma instantánea con la calculadora o el ordenador. Sin embargo, durante siglos de uso, los logaritmos dejaron su huella en las Matemáticas y aún hoy es necesario que los conozcas; pero ahora ya no para calcular, sino para utilizarlos como concepto asociado a muchas situaciones. En particular, son útiles las escalas logarítmicas (entre ellas, la Escala de Richter).

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