CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Derivadas y diferenciales de orden superior Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones 1

Repetimos

Diferenciabilidad: Diferencial de la función compuesta

Expresamos z en función de t y derivamos respecto a t. Usamos la regla de la cadena.

𝑓 𝑡 =( 𝑓 1 𝑡 , 𝑓 2 𝑡 ) ℝ 2 ℝ 𝑓 𝑔 𝑔∘𝑓 Veamos el Caso 2...

𝑓 ℝ 2 𝑔 𝐺 ℝ Expresamos z en función de (x,y) Usamos la regla de la cadena. ℝ 2 ℝ 𝑓 𝑔 𝐺

𝑧=𝑧 𝑥,𝑦 ;𝑢=𝑢 𝑥,𝑦 ,𝑣=𝑣 𝑥,𝑦 ;𝑧=𝑧(𝑢,𝑣)

𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 Para usar el árbol para calcular, por ejemplo 𝜕𝑧 𝜕𝑥 , se empieza por la parte inferior y para cada rama que termine en x, nos vamos moviendo hacia arriba hasta llegar a la z, multiplicando las derivadas que vamos encontrando por la rama; una vez hecho esto para cada rama que termina en x, se suma el resultado de cada rama y se obtiene el resultado final.

𝑧=𝑧(𝑢,𝑣);𝑢=𝑢 𝑥,𝑦 ,𝑣=𝑣 𝑥,𝑦

𝐹 𝑥,𝑦 =𝑓 𝑥 2 − 𝑦 2 ,𝑥𝑦 =𝑓(𝑢,𝑣)

Por la regla de invarianza tenemos que: 𝐹 𝑥,𝑦 =𝑓 𝑥 2 − 𝑦 2 ,𝑥𝑦 =𝑓(𝑢,𝑣)

𝐺 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 =𝑔 𝑓 1 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 ,…, 𝑓 𝑞 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 ℝ 𝑞 ℝ 𝑝 ℝ 𝑓 𝑔 𝐺

Antes solo teníamos: 𝐺 𝑖 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 = 𝑔 𝑖 𝑓 1 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 ,…, 𝑓 𝑞 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 𝑖=1,…,𝑘 ℝ 𝑞 ℝ 𝑝 ℝ 𝑘 𝑓 𝑔 𝐺

Diferenciabilidad: Cambio de variables

CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Derivadas y diferenciales de orden superior Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones 31

Diferenciabilidad: Diferencial de las funciones vectoriales

Ejemplo 1  Calcular las derivadas segundas de                                                                                                                        

Teorema de Schwarz

Derivadas sucesivas según vectores

Diferencial segunda

Derivadas y diferenciales de orden superior

Diferenciabilidad: Serie de Taylor  

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Diferenciabilidad: Equivalencias

Derivadas y diferenciales de orden superior de la función compuesta ℝ 𝑞 ℝ 𝑝 𝑓 𝑔 𝐺 ℝ 𝑘

ℝ 2 𝑓 𝑔 𝐺 ℝ

ℝ 2 𝑓 𝑔 𝐺 ℝ

Regla de la cadena para las derivadas segundas ℝ 2 𝑓 𝑔 𝐺 ℝ Regla de la cadena para las derivadas segundas Caso 𝐺=𝑔∘𝑓: ℝ 2 𝑓 ℝ 2 𝑔 ℝ

ℝ 2 𝑓 𝑔 𝐺 ℝ