Unidad 4 Anexo 1. Capítulo V. Vibraciones libres amortiguadas.

U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas. Cualquier sistema con movimiento incorpora fricción; por tanto, todo sistema oscilante, en la práctica, tendrá alguna forma de amortiguación. El valor numérico de la constante de amortiguación g registra una idea sobre la magnitud de este efecto. Considere un sistema resorte-masa-amortiguador en equilibrio estático. En el instante t = 0, la masa recibe una tracción hacia abajo hasta la ubicación x0 y luego se libera con una velocidad v0, como se muestra en la siguiente figura:

U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas. Tomando la posición de equilibrio de la masa como x = 0 y la dirección hacia abajo como positiva, determine la posición de la masa en función del tiempo, x(t). m k g x0 (t = 0) Solución: Como no existe fuerza externa, el modelo de este sistema se reduce a: una ecuación diferencial lineal, homogénea y con coeficientes constantes, cuyas condiciones iniciales son:

La ecuación característica de la ecuación diferencial es: U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas. La ecuación característica de la ecuación diferencial es: y sus raíces son: la naturaleza de las raíces dependerá del valor adoptado por el discriminante g 2  4mk, o bien de la resta de dos efectos: amortiguación (g/2m)2 y oscilación (4k/m). La discusión, por separado, de cada uno de los casos posibles se realiza a continuación.

g 2  4mk > 0 (movimiento sobreamortiguado). U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas. Caso 1: Efecto de amortiguación > Efecto de oscilación. g 2  4mk > 0 (movimiento sobreamortiguado). En este caso, las raíces son reales y distintas, por tanto, la solución general es: con: Como: ambos exponentes son negativos, y x(t) tenderá a cero cuando t  ; es decir, la masa se moverá hacia su posición de equilibrio estático sin oscilar.

U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas. Este caso se denomina movimiento sobreamortiguado, debido a que el efecto de amortiguación es mayor que el efecto de oscilación. La forma exacta de la función de desplazamiento dependerá de las condiciones iniciales. En la figura siguiente se muestran tres posibilidades para una posición inicial fija x0 y diferentes velocidades iniciales. La curva (1) ocurre para v0 > 0; la masa se mueve más hacia abajo por la influencia de la velocidad inicial, pero regresará a su posición de equilibrio estático en x = 0 como resultado de la fuerza restauradora del resorte. Para la curva (2), v0 = 0. En la curva (3), con v0 < 0, la masa pasa por la posición de equilibrio y luego regresa a ésta.

U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas.

g 2  4mk = 0 (movimiento críticamente amortiguado). U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas. Caso 2: Efecto de amortiguación = Efecto de oscilación. g 2  4mk = 0 (movimiento críticamente amortiguado). En este caso, las raíces son reales e iguales, por tanto, la solución general es: con: Nuevamente, x(t)  0 cuando t  . El factor t en el 2° término lo hará crecer al aumentar t, pero como el factor exponencial disminuye más rápido, la masa se moverá hacia su posición de equilibrio estático en x = 0 .

U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas. En este caso se dice que la masa está críticamente amortiguada porque la fuerza amortiguadora es apenas suficiente para evitar el inicio de cualquier oscilación. Un valor ligeramente menor de la constante de amortiguación g permitirá oscilaciones, y un valor ligeramente mayor de g hará que el movimiento esté sobreamortiguado. Por tanto, éste es el caso límite entre los movimientos sobreamortiguados y sub-amortiguados. La forma exacta de la función de desplazamiento dependerá de las condiciones iniciales. En la siguiente figura se muestra las curvas correspondientes a las tres posibilidades consideradas en el caso 1.

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g 2  4mk < 0 (movimiento subamortiguado). U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas. Caso 3: Efecto de amortiguación < Efecto de oscilación. g 2  4mk < 0 (movimiento subamortiguado). En este caso, las raíces son complejas conjugadas de la forma: con: y la solución es: las funciones seno y coseno indican que la masa oscilará y el factor exponencial permite asumir que la amplitud debe disminuir con el incremento de t.

U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas. El movimiento es oscilatorio no periódico, por lo que se dice que en este caso la masa está subamortiguada. Esto se debe a una constante de amortiguación relativamente pequeña y, por tanto, una ligera fuerza de amortiguación. Una expresión análoga de la solución, en términos del radio R y el ángulo d de fase, es la siguiente: Como el coseno de un ángulo no puede ser mayor que 1, el factor Rea t corresponde al desplazamiento máximo, entonces una gráfica de este factor junto con su contraparte negativa forma una envolvente que rodea las oscilaciones, como se muestra en la figura siguiente:

U-4.A-1. Cap. V. Vibraciones libres amortiguadas.