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POLEAS.
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En un sistema formado por varias masas (con dos vamos a trabajar) unidas con una cuerda a una polea. Ej: Maquina de Atwood. A B
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Aproximaciones: la cuerda es ideal, es decir, su masa es despreciable. La cuerda es inextensible. El rozamiento entre la cuerda y la polea se desprecia. Se habla del movimiento del sistema, por tanto, la aceleración es la misma para las dos masas, se llama, aceleración del sistema.
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Se realiza un diagrama de fuerzas para cada masa. En nuestro ejemplo: T T A B P A P B
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Se elige arbitrariamente el sentido del movimiento. Ya que no sabemos inicialmente si A baja y B sube o al revés. Esto dependerá del valor de la masa de A y de la masa de B. Si en el problema: m A = 5 kg y m B = 3 kg. Se moverá en el sentido: A baja y B sube. Por tanto, el movimiento de A a través de la cuerda condiciona el de B.
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Se aplica la 2º Ley de Newton por separado a cada masa. F = m a. Las ecuaciones quedarían: Sobre el cuerpo A: P A – T = m A a. Sobre el cuerpo B: T – P B = m B a. Ambas ecuaciones explican el movimiento de A y B por separado. Pero como estudiamos el movimiento del sistema (las dos masas-cuerda-polea), se suman ambas
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ecuaciones. Queda la ecuación final del movimiento del sistema: P A – T = m A a. T – P B = m B a. P A – P B = (m A + m B ) a Despejando la aceleración: a = P A - P B m A + m B
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A B m A = 2 kg m B = 5 kg = 0,3 A B m A = 3 kg m B = 4 kg = 0,1 En ambos sistemas, calcula la aceleración y el sentido del movimiento, la tensión de la cuerda y la velocidad alcanzada por el cuerpo A a los 2 s de iniciado el movimiento.
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Enunciar problemas con estos sistemas. Ejercicios del libro: 23, 24 y 25 de la página 108.
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Un cuerpo que gira con M.C.U tiene aceleración normal, radial o centrípeta, debido a que cambia la dirección del vector velocidad, sin cambiar el módulo del vector, por tanto, el movimiento es uniforme y la aceleración tangencial es nula. Un esquema del movimiento sería:
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La expresión de la aceleración centrípeta, normal o radial es: a n = v 2 /R. Si se aplica la segunda ley de Newton a un cuerpo que gira con M.C.U. F = ma; desarrollando queda, F n = ma n y F n = m (v 2 /R)
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Se deduce que hay una fuerza que causa el movimiento circular o el cambio en la dirección del vector velocidad, por tanto, genera la aceleración centrípeta. Es la llamada fuerza centrípeta, normal o radial. Se dibuja en la misma dirección y sentido que la aceleración.
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La fuerza centrípeta responsable de este movimiento hace que el cuerpo gire y no se salga de la curva. Se puede presentar en distintas formas: Como fuerza gravitatoria, hace que la Tierra gire alrededor del Sol. Como tensión de la cuerda, hace que un objeto unido a una cuerda, gire con M.C.U.
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El movimiento de una piedra atada a una cuerda (tipo honda). Si la piedra está en el punto más alto. El diagrama de fuerzas queda así: v P,T
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Así, el peso del cuerpo y la tensión de la cuerda hacen que la piedra no se salga de la curva. La suma de ambas constituyen la fuerza centrípeta. Si se aplica la 2º Ley de Newton: F = ma; desarrollando y tomando las fuerzas positivas ya que acelera hacia abajo. ( a n ) T + P = ma n ; T = ma n - P = mv 2 /R –mg. donde R = L (longitud de la cuerda).
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La piedra tiene que moverse con una velocidad mínima en el punto más alto, ya que sino caería y no se mantendría con M.C.U. La velocidad mínima se cumple cuando T = 0 (la tensión no puede ser negativa). T = mv 2 /l – mg; 0 = mv 2 /l – mg; v min = gl
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Si la piedra está en el punto más bajo El diagrama de fuerzas queda así: T v P Si se aplica la 2º Ley de Newton: F = ma desarrollando, tomando la T positiva y el peso negativo, ya que acelera hacia arriba. ( a n )
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Un ejercicio puede ser el siguiente: 1) a) Calcula la velocidad mínima para que una piedra de 2 kg de masa unida a una cuerda de 2 m de longitud, pueda girar con M.C.U. b) Si en un instante determinado la velocidad de giro es de 10 m/s. Determina la tensión de la cuerda en el punto más alto y en el punto más bajo de su trayectoria.
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T-P = ma n ; T = P + mv 2 /l. Es este caso, la resta de ambas fuerzas generan la fuerza centrípeta. Así la tensión será máxima cuando la velocidad sea máxima. T máx = mg + mv 2 max /l Una situación parecida es hacer girar esta piedra unida a la cuerda en un PLANO HORIZONTAL (péndulo cónico)
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El diagrama de fuerzas es un poco más complicado, ya que antes se utilizaba sólo el eje Y y ahora la tensión y el peso no están en el mismo eje (esto me suena).
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Se utiliza el eje X: eje del movimiento o el de la aceleración normal. Y el eje Y se dibuja perpendicular al eje X. En el eje Y: se produce una situación de equilibrio. (me suena) De ahí que la tensión se descomponga en T x y T y. Se aplica la 2º Ley de Newton: F = ma
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En el eje X: T x = ma n. En el eje Y: T y = - P (expresión vectorial) o |T y | = |P| Como la cuerda está separada un cierto ángulo ( ) respecto de la vertical. T x y T y se pueden obtener en función del seno, coseno. (me suena). T x = Tsen y T y = Tcos
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Y las ecuaciones del movimiento del péndulo cónico quedan: En el eje X: Tsen = mv 2 /R En el eje Y: Tcos = mg. Donde R, es el radio de la circunferencia. Se halla conociendo la longitud de la cuerda y el ángulo . sen = co/hip = R/L; y R = Lsen . Ejercicios del libro: página 108: 29 y 30.
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