Unidad 4 Anexo 1. Capítulo III. Vibraciones libres sin amortiguación.

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1 Unidad 4 Anexo 1. Capítulo III. Vibraciones libres sin amortiguación.

2 U-4.A-1. Cap.III. Vibraciones libres sin amortiguación.
Considere el sistema resorte-masa sin fricción que está en equilibrio estático. En t = 0, se tira de la masa hacia abajo hasta la ubicación x0 y luego se libera con una velocidad v0. Como resultado, la masa comienza a vibrar. m x0 m t = 0 Tomando la posición de equilibrio de la masa como x = 0 y la dirección descendente como positiva, determine la posición de la masa como función del tiempo, x(t), así como la amplitud y el periodo de las vibraciones. x

3 cuya ecuación característica:
U-4.A-1. Cap.III. Vibraciones libres sin amortiguación. Solución: Como no existen fuerza externa ni amortiguador que se opongan al movimiento, el modelo del fenómeno se reduce en este caso a: con x(0) = x0 y x’(0) = v0 Al dividir la ecuación entre m y considerar a la frecuencia natural de oscilación, w0, como: Se tiene: cuya ecuación característica: resulta en:

4 Entonces, la solución general de la ecuación es:
U-4.A-1. Cap.III. Vibraciones libres sin amortiguación. Entonces, la solución general de la ecuación es: y aplicando las condiciones iniciales: se obtiene la siguiente solución:

5 Una simplificación de la solución permite expresarla en la forma:
U-4.A-1. Cap.III. Vibraciones libres sin amortiguación. Una simplificación de la solución permite expresarla en la forma: en donde: y así: R se obtiene elevando al cuadrado y sumando ambos términos: El ángulo de fase d se puede determinar mediante la división:

6 De esta manera, la solución y su comportamiento son:
U-4.A-1. Cap.III. Vibraciones libres sin amortiguación. De esta manera, la solución y su comportamiento son:

7 y su aceleración, derivando dos veces es:
U-4.A-1. Cap.III. Vibraciones libres sin amortiguación. y su aceleración, derivando dos veces es: Este movimiento oscilatorio, cuya aceleración es opuesta al desplazamiento y es proporcional al cuadrado de la frecuencia, se llama movimiento armónico simple. El factor A corresponde al desplazamiento máximo, llamado amplitud de la oscilación. La masa oscilará continuamente entre x = A y x = A. Como el coseno es unitario en 2np (n un entero), entonces los valores de t a los que la masa estará en su máximo son:

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El tiempo en el cual se completa un ciclo se llama periodo del movimiento, y se determina a partir de la diferencia para n = 1 y n = 0  de la relación anterior, en donde ocurren dos máximos consecutivos: La frecuencia de las oscilaciones es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, y es igual a la inversa del periodo: cuya unidad equivale al número de ciclos por segundo y se denomina Hertz (Hz).

9 U-4.A-1. Cap.III. Vibraciones libres sin amortiguación.
Obsérvese que, en ausencia de cualquier efecto externo, la frecuencia sólo depende de la masa y de las propiedades del resorte, por lo que es independiente de las condiciones iniciales y de la gravedad. La frecuencia w0 es un ejemplo de una frecuencia circular, que tiene unidades de radianes por segundo. El término: es una propiedad intrínseca del sistema y se conoce como frecuencia circular natural o simplemente frecuencia natural de oscilación del sistema.