¿Porqué el área de un circulo es 𝜋 𝑅 2 ? 𝜋= 𝐿 𝐷 =3,14151. Montoya.
Ai= 𝑛 2 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 360 𝑛 Ae= n 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 180 𝑛
Ai= 4 2 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 360 4 Ai= 5 2 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 360 5 Ai= 6 2 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 360 6 Ai= 2 𝑅 2 Ai= 2,37 𝑅 2 Ai= 2,59𝑅 2 Ae= 5 𝑅 2 𝑡𝑔 180 5 Ae= 4 𝑅 2 𝑡𝑔 180 4 Ae= 6 𝑅 2 𝑡𝑔 180 6 Ae= 3,63 𝑅 2 Ae=3,46 𝑅 2 Ae= 4 𝑅 2 𝐴 =3,18 𝑅 2 𝐴 =3 𝑅 2 𝐴 =3,02 𝑅 2
Para un polígono de 100 lados Ai= 100 2 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 360 100 Ae= 100 𝑅 2 𝑡𝑔 180 100 Ai= 3,13 𝑅 2 Ae= 3,14 𝑅 2 𝐴 =3,14 𝑅 2
Para un polígono de 1000 lados Ai= 1000 2 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 360 1000 Ae= 1000 𝑅 2 𝑡𝑔 180 1000 Ai= 3,14 𝑅 2 Ae= 3,14 𝑅 2 𝐴 =3,14 𝑅 2 𝐴 =𝜋 𝑅 2 ¡Fantástico!
Integral de Riemann
Serie de Riemann Área por aproximación 𝐴 𝑡 = 0.5𝑥1 +(0.5𝑥2)+(0.5𝑥3) +(0.5𝑥4) 𝐴 𝑡 =5 𝑢 2 0,5 f(x)=2x
Serie de Riemann Área por aproximación 𝐴 𝑡 = 0.25𝑥0.5 + 0.25𝑥1 + 0.25𝑥1.5 + 0.25𝑥2 + 0.25𝑥2.5 + 0.25𝑥3 + 0.25𝑥3.5 + 0.25𝑥4 𝐴 𝑡 = 4,5𝑢 2 0,25 f(x)=2x Área Real: 4𝑢 2
Serie de Riemann Los límites de la función 𝑎 , 𝑏 son: 0 , 2 ∆𝑥= 𝑏−𝑎 𝑛 ∆𝑥 𝑖=1 𝑛=8 𝑓( 𝑥 𝑖 )= 2−0 8 𝑥 𝑖=1 𝑛=8 𝑓( 𝑥 𝑖 )= =0.25 𝑥 𝑓 0.25 +𝑓 0.5 +𝑓 0.75 +𝑓 1 +𝑓 1.25 +𝑓 1.5 +𝑓 1.75 +𝑓(2) =0.25 𝑥 (0.5+1+1.5+2+2.5+3+3.5+4) 𝐴 𝑡 = 4,5𝑢 2
∆𝑥 𝑖=1 𝑛 𝑓( 𝑥 𝑖 )= 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Pero si ∆𝑥 0 , ∆𝑥=dx 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 =𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)
Deducción del Área del Círculo 𝜋 𝑟 2 ¿Área? 𝑥 2 + 𝑦 2 =r
Ecuación estándar de un círculo: 𝑥 2 + 𝑦 2 =R f(x) =y= 𝑅 2 − 𝑥 2 d 𝐴 1 =y∙dx 𝐴 1 = 0 𝑅 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐴 𝑇 =4∙ 𝐴 1 =4 0 𝑅 ( 𝑅 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 dx 𝐴 1 R x 𝛼 𝑅 2 − 𝑥 2
𝐴 𝑇 = 4 0 𝑅 ( 𝑅 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 =4 0 𝜋 2 𝑅 2 − 𝑅∙𝑠𝑖𝑛 𝛼 2 R∙ cos 𝛼 ∙𝑑𝛼 sin 𝛼 = 𝑥 𝑅 R sin 𝛼 =𝑥 R∙ cos 𝛼 ∙𝑑𝛼=𝑑𝑥 =4 0 𝜋 2 𝑅 2 (1− sin 𝛼 2 ) R∙ cos 𝛼 ∙𝑑𝛼 𝐴 𝑇 =4∙ 𝐴 1 =4 0 𝑅 ( 𝑅 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 =4 0 𝜋 2 𝑅 2 ∙ cos 𝛼 2 R∙ cos 𝛼 ∙𝑑𝛼 sin 𝛼 = 0 𝑅 =0 Si x=0 𝛼=0 =4 0 𝜋 2 𝑅∙ cos 𝛼 ∙ R∙ cos 𝛼 ∙𝑑𝛼 sin 𝛼 = 𝑅 𝑅 =1 Si x=R 𝛼= 𝜋 2
𝑨 𝑻 = 𝟒 𝟎 𝑹 ( 𝑹 𝟐 − 𝒙 𝟐 )𝒅𝒙 =𝝅 𝑹 𝟐 =4∙ 𝑅 2 0 𝜋 2 cos 𝛼 2 𝑑𝛼 =4 𝑅 2 1 2 𝛼+ sin 2𝛼 4 𝜋 2 0 =4 𝑅 2 1 2 𝜋 2 + sin 2 𝜋 2 4 −4 𝑅 2 1 2 ∙0+ sin 2∙0 4 =4 𝑅 2 𝜋 4 + sin 𝜋 4 −4 𝑅 2 ∙0 𝑨 𝑻 = 𝟒 𝟎 𝑹 ( 𝑹 𝟐 − 𝒙 𝟐 )𝒅𝒙 =𝝅 𝑹 𝟐 =4 𝑅 2 𝜋 4 =𝜋 𝑅 2
Ecuación estándar de un círculo: 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1 f(x) =y= 𝑏 𝑎 𝑎 2 − 𝑥 2 𝐴=𝑎𝑏𝜋