Unidad 4. Capítulo V. Ecuaciones homogéneas: Teoría.

U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. La solución general de la ecuación diferencial de segundo orden lineal homogénea y’’ = 0, discutida anteriormente tiene la forma: con y1 = x y y2 =1. Se puede probar por sustitución directa que las funciones y1 y y2, todo múltiplo constante de ambas o bien su suma algebraica, satisfacen la ecuación diferencial. En general, la combinación lineal C1y1 + C2y2 contiene todas las soluciones de la ecuación diferencial.

La exposición intuitiva anterior conduce al importante teorema: U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. La exposición intuitiva anterior conduce al importante teorema: Principio de superposición Si y1 y y2 son dos soluciones de la ecuación homogénea: entonces la combinación lineal: en donde C1 y C2 son constantes arbitrarias, también es una solución de esta ecuación.

Prueba: Este teorema se prueba derivando dos veces la solución: U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. Prueba: Este teorema se prueba derivando dos veces la solución: y sustituyendo estos resultados en la ecuación diferencial: 

U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. Aunque pareciera ser que una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden tiene un número infinito de soluciones, la mayoría difiere por un factor constante. Por lo que es importante saber cuántas de ellas se pueden considerar como soluciones fundamentales, a partir de las que pueden obtenerse todas las demás usando el principio de superposición. Es decir, cuántas soluciones linealmente independientes puede tener una ecuación diferencial lineal homogénea. Resulta entonces que el número de ellas es igual al orden de la ecuación diferencial.

U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. Antes de probar esta afirmación se desarrolla una relación importante: la identidad de Abel. Considere la ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea: con p(x) y q(x) continuas en x1 ≤ x ≤ x2, y sean y1 y y2 dos soluciones cualesquiera de ella. Entonces, el Wronskiano W(y1,y2) o es siempre cero (y1 y y2 son linealmente dependientes), o nunca cero (y1 y y2 son linealmente independientes).

Prueba: Como y1 y y2 satisfacen la ecuación diferencial: U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. Prueba: Como y1 y y2 satisfacen la ecuación diferencial: Multiplicando la primera por y2, la segunda por y1, y restando la primera de la segunda se obtiene: por definición del wronskiano, y su derivada, se tiene la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

donde K es una constante y W es el Wronskiano W(y1, y2). U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. cuya solución es: donde K es una constante y W es el Wronskiano W(y1, y2). La función exponencial en esta relación nunca es cero, ya que p(x) es función continua y, por tanto, la integral: no puede hacerse infinita. Entonces, la única manera en que el Wronskiano W puede ser cero es si K = 0, en cuyo caso W es idénticamente cero. Si K ≠ 0, entonces W nunca es cero en el intervalo en el que P(x) es continuo. 

Aplicación de la identidad de Abel: U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. Aplicación de la identidad de Abel: Determine el Wronskiano de las funciones y1 = x2, y2 = x3 soluciones de la ecuación diferencial: en el intervalo 0 < x <  usando a) el wronskiano y b) la fórmula de Abel. Solución: Esta ecuación homogénea puede escribirse en forma estándar dividiendo cada término x2:

b) por la fórmula de Abel se tiene: U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. p(x) = 2/x y q(x) = 6/x2 son continuas en x  R, excepto en el punto x = 0; por lo que se espera que W(y1, y2) sea idénticamente cero o que nunca lo sea en 0 < x < . a) El wronskiano es: b) por la fórmula de Abel se tiene: es decir, por tanto las soluciones son linealmente independientes.

Solución general de ecuaciones homogéneas: U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. Solución general de ecuaciones homogéneas: La ecuación diferencial lineal, homogénea, de segundo orden: con coeficientes p y q continuos en x1 < x < x2, siempre tiene dos soluciones linealmente independientes y1 y y2 en el intervalo dado. La solución general de esta ecuación en el intervalo dado se puede expresar, en forma única, como una combinación lineal de estas dos soluciones:

U-4. Cap. V. Teoría de las ecuaciones homogéneas. Una solución de la ecuación se puede obtener al asignar valores adecuados a las constantes C1 y C2 de la solución general. El conjunto de soluciones y1 y y2, denominado conjunto fundamental de soluciones, se define como una colección de soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, en un intervalo dado. Es posible demostrar que todas las soluciones generales obtenidas usando diferentes conjuntos de soluciones fundamentales son equivalentes entre sí.