Dra. Noemí L. Ruiz © Derechos Reservados Dra. Noemí L. Ruiz © Derechos Reservados Números Reales

Objetivos de la lección 1.Conocer los distintos subconjuntos de los números Reales 2.Identificar a qué conjuntos de los Reales pertenece un número dado

Conjuntos de los Reales

Números Naturales (“Natural Numbers”) Son los números que se utilizan para contar: {1, 2, 3, 4, 5, …}

Números Cardinales (“Whole Numbers”) Son los mismos números Naturales a los cuales se les ha añadido el número Cero: {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

(“Integers”) Son todos los números Cardinales a los cuales se les ha añadido el reflejo de los números Naturales en la parte izquierda de la recta numérica, o sea, los opuestos de los números Naturales. {…, - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Números Enteros

(“Rational Numbers”) Son los números que se pueden escribir como una fracción, en la cual el numerador y denominador son Enteros, excepto el denominador que no puede ser Números Racionales cerocero.

Ejemplos de Racionales Fracciones Decimales – PropiasPropias – ImpropiasImpropias – MixtasMixtas – ExactosExactos – PeriódicosPeriódicos Naturales Cardinales Enteros

(“Irrational Numbers”) Son los números que no son racionales, o sea, aquellos que no se pueden escribir como fracción, como por ejemplo:  Raíces cuadradas que no son exactas (inexactas)  Decimales infinitos que no son periódicos Números Irracionales

(“Real Numbers”) Es la unión de los números Racionales con los Irracionales. Números Reales

¿Por qué el denominador no puede ser cero? La división por cero no está definida ya que no existe número alguno que se obtenga como resultado cuando se divide por cero. Ejemplo: = 0 10 Dividir por 0 significa buscar un número que cuando se multiplique por 0, de 10, en este ejemplo. ¿Qué número se multiplica por 0 y da 10? Ninguno, ya que todo número que se multiplica por 0 da 0. ?

Naturales Para determinar si un número Natural es también Racional, basta tomar un ejemplo. Tomemos como ejemplo el número 5. ¿Se puede escribir el 5 como una fracción que cumpla con la definición de Racional? Si. El 5 se puede escribir como:

Naturales ¿Habrá alguna otra forma de fracción equivalente al 5? Si. Veamos: ¿Cuántas formas hay de escribir el 5 como fracción? Hay infinitas maneras de escribir el 5 como una fracción. Para buscar una fracción equivalente a 5, solo hay que buscar dos números tales que al dividirse se obtenga 5 como resultado.

Naturales ¿Se podrá hacer lo mismo con los otros números Naturales? Si. La forma más fácil es colocar el número sobre 1: ¿Son todos los Naturales, Racionales? Sí. Todos los números Naturales son Racionales.

Para determinar si un número Cardinal es también Racional, basta tomar un ejemplo. Tomemos como ejemplo el único número Cardinal que no es Natural, o sea, el 0. ¿Se puede escribir el 0 como una fracción que cumpla con la definición de Racional? Si. El 0 se puede escribir como: Cardinales Observa que es equivalente a 0. Observa que no hemos escrito el cero en el denominador.

¿Habrá alguna otra forma de fracción equivalente al 0? Cardinales Si. Veamos:,,, ¿Cuántas formas hay de escribir el 0 como fracción? Hay infinitas maneras de escribir el 0 como una fracción.

Cardinales ¿Se podrá hacer lo mismo con los otros números Cardinales? ¿Son todos los Cardinales Racionales? Sí. Todos los números Cardinales son Racionales. Si. La forma más fácil es colocar el número sobre 1:,,,,

Para determinar si un número Entero es también Racional, basta tomar un ejemplo como hemos hecho antes. Tomemos como ejemplo un número negativo: -4 ¿Se puede escribir el -4 como una fracción que cumpla con la definición de Racional? Si. El -4 se puede escribir como: Enteros

¿Se podrá hacer lo mismo con los otros números Enteros? Si. La forma más fácil es colocar el número sobre 1:,,,, ¿Son todos los Enteros Racionales? Sí. Todos los números Enteros son Racionales.

Fracciones Propias Son aquellas fracciones cuyo numerador es menor que el denominador. Observa que todas las fracciones propias cumplen con la definición de números Racionales ya que de hecho están en la forma de fracción, por lo tanto son Racionales. Ejemplos:,,,,

Fracciones Impropias Son aquellas fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Observa que todas las fracciones impropias cumplen con la definición de números Racionales ya que de hecho están en la forma de fracción, por lo tanto son Racionales. Ejemplos:,,,,

Fracciones Mixtas Son aquellas fracciones que consisten de un número entero y una fracción propia. Observa que la fracción del número mixto siempre es una fracción propia. Ejemplos:,,,,

Para determinar si una fracción mixta es Racional, basta con tomar un ejemplo y ver si se puede convertir a una fracción que cumpla con la definición de Racional. ¿Se puede convertir un número mixto a fracción? Sí, veamos el ejemplo en la próxima pantalla. Por tanto, las fracciones mixtas son Racionales. Fracciones Mixtas

¿Cuál es el proceso para convertir el número mixto a fracción? Para convertir un número mixto a fracción: –Se multiplica el entero por el denominador. –A ese resultado se le suma el numerador. Este es el numerador de la fracción. –Se coloca el mismo denominador en la fracción. Fracciones Mixtas Observa que siempre se obtiene una fracción impropia Ejemplo: =

Decimales exactos Son aquellos que no son periódicos. Los periódicos son los que se repite infinitamente una misma cifra o período. Ejemplos: 0.5, 0.23, ¿Se pueden convertir estos decimales a fracción? Sí, veamos el ejemplo en la próxima pantalla. Por tanto, los decimales exactos son Racionales.

Decimales exactos Para convertir un decimal exacto a fracción: –Leerlo correctamente, de acuerdo al valor de lugar decimal –Colocar el denominador que corresponda al valor de lugar decimal  Observa que el valor de lugar decimal incrementa en potencias de 10 y esta potencia corresponde al denominador de la fracción.  Observa que el último ejemplo representa un número mixto que se puede convertir a fracción impropia. Ejemplos: –0.5- cinco décimas- –0.23- veintitres centésimas- – dos y cientocuarenta y cinco milésimas-

Decimales Periódicos Son decimales infinitos en los cuales se repite una misma cifra o período de numéros ¿Se pueden convertir estos decimales a fracción? Sí, veamos la explicación en la próxima pantalla. Por tanto, los decimales periódicos son Racionales. Ejemplos: …,,,

Decimales Periódicos Se pueden convertir los decimales periódicos a fracción, aunque no demostraremos este proceso en estos momentos ya que es un tanto complejo y se necesitan conocimientos más avanzados. Sin embargo, podemos demostrar que si una fracción representa un decimal periódico, entonces, el decimal periódico puede representarse como fracción también.

Decimales Periódicos Tomemos el ejemplo de la fracción: Para convertir la fracción a decimal, hay que dividir el numerador por el denominador. Veamos: 0.33… Observa que 0.33… equivale a y por tanto, es un decimal periódico que se puede escribir como una fracción.

Muy bien.

Incorrecto. Trata otra vez.