ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL MATEMÁTICA AVANZADA ECUACIONES CLÁSICAS Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA Realizado por: Jorge Andrés Flores Alvear Kevin Patricio López Eugenio Luis Felipe Zumárraga Cadena RVISADO POR: Dennys Lema Erika Pachacama Alvaro Tapia

CONTENIDO PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA Condición de frontera de Dirichlet Condición de frontera de Neumann Condición de frontera de Cauchy Condición de frontera mixta Condición de frontera de Robin ECUACIONES CLÁSICAS Clasificación Ecuación de transmisión del calor Ejemplos

INTRODUCCIÓN Suponiendo una ecuación en derivadas parciales EDP que tenga la forma: donde a, b, c, e son funciones dependientes de (x, y, ux, uy) Muchas veces estas funciones a, b, c son constantes, de manera que la expresión: nos permite diferenciar tres tipos estándar de ecuaciones.

Estos tres tipos estándar de ecuaciones vienen dadas por:

PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA Un problema de valor de frontera (también llamados como problemas de valor o condición, de borde o contorno) se lo denomina al conjunto de una ecuación diferencial y a las condiciones de frontera o contorno. Una solución de un problema de condiciones de frontera es una solución de una ecuación diferencial que satisface dichas condiciones de frontera.

PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA Son condiciones dadas para resolver una ecuación diferencial en donde, se especifica el valor de la variable dependiente y/o de sus derivadas en puntos distintos. El análisis de estos problemas involucran funciones propias y operadores diferenciales. Su importancia radica en que permiten plantear modelos y sistemas físicos de una forma más fácil.

CONDICIÓN DE FRONTERA DE DIRICHLET La condición de frontera de Dirichlet (o de primer tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, denominado así en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Se da cuando en una EDP se especifican los valores de la solución que necesita la frontera del dominio.

CONDICIÓN DE FRONTERA DE DIRICHLET

CONDICIÓN DE FRONTERA DE NEUMANN La condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo) Se presenta cuando a una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o contorno del dominio.

CONDICIÓN DE FRONTERA DE NEUMANN

CONDICIÓN DE FRONTERA DE CAUCHY Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden y de condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir:

CONDICIÓN DE FRONTERA MIXTA En matemáticas, una condición de frontera mixta para una ecuación diferencial en derivadas parciales indica que se utilizan diferentes condiciones de frontera o contorno sobre partes diferentes de la frontera del dominio de la ecuación. Por ejemplo, si u es una solución a una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre el conjunto Ω con frontera∂ Ω suave a tramos, y ∂ Ω está dividida en dos partes, Γ ₁ y Γ ₂, una puede usar la condición de frontera de Drichlet tsobre Γ ₁ y una condición de frontera de Neumann sobre Γ ₂:t donde u₀ y g son funciones dadas definida sobre aquellas porciones de la frontera.

CONDICIÓN DE FRONTERA DE ROBIN si Ω es el dominio sobre el cual se resuelve la ecuación dada y ∂ Ω es su frontera entonces la condición de frontera de Robin es: donde: a: constante distinta de cero b:constante distinta de cero g:función dada definida sobre ∂ Ω u: solución desconocida definida en Ω ∂u/∂n: derivada normal en la frontera

ECUACIONES CLÁSICAS A partir del análisis de los coeficientes de la EDP presentada al inicio

ECUACIÓN DE CALOR

EJEMPLO 1 Una varilla delgada de longitud π,y sus extremos se mantienen a la temperatura cero en todo momento, tiene una temperatura inicial y cumplen las condiciones iniciales y de frontera :

EJEMPLO 2

REFERENCIAS ● SPECK, J.,(2011), INTRODUCTION TO PDE, NEWTON, MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY, UNITED STATES, MIT COURSEWARE. ● SPECK, J.,(2011), CLASSIFICATION OF SECOND ORDER EQUATIONS, NEWTON, MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY, UNITED STATES, MIT COURSEWARE. ● KLAINERMAN, S., (2013), INTRODUCTION TO PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, PRINCETON, PRINCETON UNIVERSITY, UNITED STATES, PRINCETON PRINTING PRESS. ● ZILL, D., (1997), ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES DE MODELADO, MÉXICO, INTERNATIONAL THOMSON. ● BOYCE-DI PRIMA, (2000), ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALOR EN LA FRONTERA, MÉXICO, LIMUSA-WILLEY. ● MARIO, M. (2017). BLOGDEWORDPRESS.COM. OBTENIDO DE COM/TAG/EJEMPLO-DE-SOLUCION-DE- ECUACION-DE-CALOR-POR- SEPARACION-DE-VARIABLES/