UNIDAD 04 Los números enteros 1. Los números enteros. Representación y valor absoluto 2. Ordenación de los números enteros 3. Operaciones con números enteros 4. Propiedades de los números enteros 5. Operaciones combinadas 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

1. Los números enteros. Representación y valor absoluto El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos, N, el cero y los números negativos. Lo representamos con la letra Z. Z = {…, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Los utilizamos para expresar temperaturas bajo cero, fechas históricas, altitudes, latitudes, deudas,… 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

1. Los números enteros. Representación y valor absoluto El valor absoluto de un número entero es el mismo número con signo positivo. Se expresa escribiendo el número entre barras. |+ a| = |− a| = a |+ 12| = |− 12| = 12 Dos números enteros son opuestos o simétricos si tienen distinto signo y el mismo valor absoluto. |+ 7| = |− 7| = 7  op (– 7) = 7 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

Valor relativo de los números enteros Es el valor que tiene el número teniendo en cuenta su signo Por ejemplo el valor relativo de -9 es -9 El valor relativo de 4 es +4

2. Ordenación de los números enteros La forma más sencilla de ordenar los números enteros es mediante su representación en la recta numérica. Un número entero a es mayor que un número entero b, a > b, si a está a la derecha de b en la recta numérica, mientras que es menor si se encuentra a la izquierda. También podemos decir que : a > b  a – b > 0 a < b  a – b < 0 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción Para sumar dos o más números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los sumandos y se deja el mismo signo. El resultado siempre es un número entero. (+8) + (+3) + (+5) = (+16) (–6) + (–8) + (–9) = (–23) 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

(–5) + (+4) + (–3) = (–5) + (–3) + (+4) = LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción Para sumar dos o más números enteros de distinto signo se suman por separado los del mismo signo y después se restan sus valores absolutos, el menor del mayor, y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. El resultado es un número entero. (–5) + (+4) + (–3) = (–5) + (–3) + (+4) = = (–8) + (+4) = (–4) 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y se obtiene así otro número entero. (–7) – (–3) = (–7) + (+3) = (–4) 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división Para multiplicar dos o más números enteros se multiplican sus valores absolutos. El signo del producto se obtiene mediante la regla de los signos. + · + = + (+ 3) · (+ 5) = (+15) + · – = – (+ 4) · (– 5) = (– 20) – · + = – (– 7) · (+ 2) = (– 14) – · – = + (– 6) · (– 3) = (+18) 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos. El signo de la división se obtiene mediante la regla de los signos. + : + = + (+ 15) : (+ 5) = (+3) + : – = – (+ 18) : (– 2) = (– 9) – : + = – (– 12) : (+ 4) = (– 3) – : – = + (– 24) : (– 6) = (+4) 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces La potencia de un número entero es otro número entero que se halla multiplicando la base por sí misma tantas veces como indique el exponente. Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva. (+5)2 = 25 Si la base es negativa, la potencia será positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar. (– 3)2 = (+9) (– 3)3 = (– 27) 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces Solo se puede realizar la raíz de un número entero positivo y de cero. = ± b  (± b)2 = a 9 = ± 3  (±3)2 = 9 La raíz de un número entero negativo no existe. 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

4. Propiedades de los números enteros La suma y la multiplicación de números enteros tienen las siguientes propiedades: Suma Multiplicación Conmutativa (–3) + (+ 4) = (+ 4) + (–3) (–3) · (+ 4) = (+ 4) · (–3) Asociativa [(+ 5) + (+ 7)] + (– 9) = = (+ 5) + [(+7) + (–9)] [(+ 5) · (+ 7)] · (– 9) = = (+ 5) · [(+7) · (–9)] Elemento neutro (–6) + 0 = (– 6) (+ 5) · 1 = (+ 5) Elemento opuesto o simétrico (+3) + (– 3) = 0 Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma (–2) · [(+7) + (–3)] = (–2) · (+7) + (–2) · (–3) 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

Potencia de una potencia Potencia de cero y de uno LOS NÚMEROS ENTEROS 4. Propiedades de los números enteros Las potencias de números enteros tienen las siguientes propiedades. Multiplicación am · an = am + n (–6)3 · (–6)2 = (–6)3 + 2 División am : an = am – n (–6)3 : (–6)2 = (–6)3 - 2 Potencia de una potencia (am)n = am · n [(–6)2 ]3·= (–6)2 · 3 Potencia de cero y de uno a0 = 1 a1 = a (–6)0 = 1 (–6)1 = (–6) 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

5. Operaciones combinadas LOS NÚMEROS ENTEROS 5. Operaciones combinadas Las operaciones entre paréntesis son las primeras que debes realizar. También puedes eliminarlas de la siguiente manera: Si delante del paréntesis hay un signo positivo, los signos de los números que hayan dentro del mismo no se modifican. 3 + (–7 + 6) = 3 – 7 + 6 = 2 Si delante del paréntesis hay un signo negativo, cambiarán de signo todos los números que se encuentren dentro. 5 – (–3 + 8) = 5 + 3 – 8 = 0 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

5. Operaciones combinadas LOS NÚMEROS ENTEROS 5. Operaciones combinadas Cuando hay varias operaciones juntas debes seguir el siguiente orden: 1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis y corchetes. 2.º Calcular las potencias y las raíces. 3.º Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de aparición. 4.º Efectuar las sumas y restas de izquierda a derecha. [(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

5. Operaciones combinadas LOS NÚMEROS ENTEROS 5. Operaciones combinadas [(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22 = = (– 8) · (– 2) + (– 8) : 22 = = (– 8) · (– 2) + (– 8) : 4 = = (+16) + (– 2) = (+14) 1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS