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1 BLOQUE BLOQUE: Algebra y funciones BLOQUE BLOQUE: Algebra y funciones

2 COMENCEMOSCOMENCEMOS ¿Qué es un número?

3 OBSERVEMOSOBSERVEMOS

4 OBSERVEMOSOBSERVEMOS

5 OBSERVEMOSOBSERVEMOS Cafetería Textil - Hogar Moda adultos Moda infantil Perfumería Supermercado Parking 1 Parking 2

6 OBSERVEMOSOBSERVEMOS

7 OBJETIVOOBJETIVO ¿Qué voy a aprender? Reconocer los elementos del conjunto de números enteros Z, ejemplificando situaciones reales en las que se utilizan los números enteros negativos. ¿Cómo voy a prender? Proyección, ejemplos prácticos, actividades en clase, actividades en casa y ALEKS. ¿Para qué voy a aprender? Para solucionar problemas del entorno diario.

8 TEMA:TEMA: Números Enteros (Z) En una demostración militar participan un submarino, una avioneta y un barco. El submarino desciende 130 m bajo el nivel del mar, la avioneta vuela a 250 m sobre el nivel del mar y el barco está sobre el mar. Indica en qué orden están de abajo hacia arriba. Reflexiona: Los tres transporte, ¿podrían estar al mismo nivel? ¿Por qué? 130 m 250 m

9 TEMA:TEMA: Números Enteros (Z) Se los reconoce con la letra Z y son aquellos que están formado por los números naturales, sus opuestos (versiones negativas de los naturales) y el cero (es el único número que no tiene signo). 0 12345678910 -10-9-8-7-6-5-4-3-2 … … Enteros negativos Enteros positivos 3 +3(+3) -3(-3)

10 TEMA:TEMA: Recta numérica Los números enteros se grafican en la recta numérica de la siguiente manera: 0 12345678910 -10-9-8-7-6-5-4-3-2 … … Crecientes - Sucesor Decrecientes - Antecesor I D DI Z Z  Desde la posición -8 moverse 10 pasos hacia la derecha.  Desde la posición 6 moverse 9 pasos hacia la izquierda.

11 TEMA:TEMA: Plano Cartesiano Los números enteros también se grafican en el plano cartesiano de la siguiente manera: Z Z CUADRANTES

12 TEMA:TEMA: Plano Cartesiano Los números enteros también se grafican en el plano cartesiano de la siguiente manera: Z Z Eje de las ordenadas Eje de las abscisas x x (+) x x (-) y y (+) y y (-)

13 TEMA:TEMA: Plano Cartesiano Los números enteros también se grafican en el plano cartesiano de la siguiente manera: Z Z x x (+) x x (-) y y (+) y y (-) + - + - + -

14 TEMA:TEMA: Plano Cartesiano Los números enteros también se grafican en el plano cartesiano de la siguiente manera: Z Z Origen

15 TEMA:TEMA: Plano Cartesiano Los números enteros también se grafican en el plano cartesiano de la siguiente manera: Z Z 0 2 4 6 2 4 6 -2-4 -6 -2 -4 -6 y y (+) y y (-) x x (+) x x (-)

16 TEMA:TEMA: Números opuestos y valor absoluto opuestossimétricoscero Llamados opuestos o simétricos están ubicados a la misma distancia del cero pero con distintos signos. Z Z 0 12345678910 -10-9-8-7-6-5-4-3-2 … valor absoluto El valor absoluto de un número entero es la distancia (en unidades) que lo separa del cero en la recta numérica. 0 |-6| = 6 |+6| = 6 … 12345678910 -10-9-8-7-6-5-4-3-2 … …

17 PARA EJERCITAR  Realicemos la actividad de las páginas 14, 16, 18 y 20.  Realizar la Actividad #1 en la plataforma Aleks.  Realicemos la actividad de las páginas 14, 16, 18 y 20.  Realizar la Actividad #1 en la plataforma Aleks. Z Z

18 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

19 OBJETIVOOBJETIVO ¿Qué voy a aprender?  Operar en Z (adición) de forma numérica, aplicando el orden de operación.  Deducir y aplicar las propiedades algebraicas (adición) de los números enteros en operaciones numéricas. ¿Cómo voy a prender? Proyección, ejemplos prácticos, actividades en clase, actividades en casa y ALEKS. ¿Para qué voy a aprender? Para solucionar problemas del entorno diario.

20 TEMA:TEMA: Adición de números enteros (Z) Veamos la siguiente situación y determina la solución del problema de la página 21 del libro. Reflexiona: Si luego baja en el ascensor 6 pisos, ¿a qué piso llega? Z Z 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12345678910 -2 …… (5) + (3) SUMANDOSUMANDO SUMA TOTAL +=

21 TEMA:TEMA: Adición de números enteros (Z) Veamos la siguiente situación real de la página 21, figura 1 del texto. Se suman los valores absolutos y al resultado final se le ubica el signo en común. Veamos la siguiente situación real de la página 21, figura 1 del texto. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS DE IGUAL SIGNO Z Z 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - (-6)(-6) (-7)(-7) + 67 + 13 - SUMANDOSUMANDO SUMA TOTAL +=

22 TEMA:TEMA: Adición de números enteros (Z) Veamos la siguiente situación real de la página 21, figura 2 del texto. Se determina el valor absoluto de cada uno de ellos. Luego, se restan los valores y al resultado final se le ubica el signo del número que tiene mayor valor absoluto. Veamos la siguiente situación real de la página 21, figura 2 del texto. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS CON DIFERENTE SIGNO Z Z 4 - 3 - 2 - 1 - 0 - -1 - -2 - -3 - -4 - (+3)(+3) + (-4)(-4) 34 - 1 - SUMANDOSUMANDO SUMA TOTAL +=

23 TEMA:TEMA: Propiedades de la adición (Z) Ejemplo: La suma obtenida al adicionar números enteros es un número entero. Ejemplo: PROPIEDAD CLAUSURATIVA Z Z (-8) + (-9) = -17 (+7) + (-8) = -1 SUMANDOSUMANDO SUMA TOTAL +=

24 TEMA:TEMA: Propiedades de la adición (Z) Ejemplo: En toda adición el orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplo: PROPIEDAD CONMUTATIVA Z Z (+8) + (-9) = -1 (-9) + (+8) = -1 SUMANDOSUMANDO SUMA TOTAL +=

25 TEMA:TEMA: Propiedades de la adición (Z) Ejemplo: Al asociar dos o mas sumandos de una adición, en distinto orden, la suma no se altera. Ejemplo: PROPIEDAD ASOCIATIVA Z Z (-14 + 24) - 5 -14 + (+24 - 5) SUMANDOSUMANDO SUMA TOTAL +=

26 TEMA:TEMA: Propiedades de la adición (Z) Ejemplo: La adición de un número entero con cero, da como resultado el mismo número entero. Ejemplo: PROPIEDAD MODULATIVA (ELEMENTO NEUTRO) Z Z 0 + (-41) = -41 (+27) + 0 = +27 (+27) + 0 = +27 SUMANDOSUMANDO SUMA TOTAL +=

27 TEMA:TEMA: Propiedades de la adición (Z) Ejemplo: La adición de un número entero con su opuesto dara como resultado cero. Ejemplo: PROPIEDAD INVERSO ADITIVO U OPUESTO Z Z (+6) + (-6) = 0 (-10) + (+10) = 0 (-10) + (+10) = 0 SUMANDOSUMANDO SUMA TOTAL +=

28 PARA EJERCITAR  Realiza en tu cuaderno la siguiente lista de ejercicios.  Realicemos la actividad de la página 22 y 23.  Realizar la Actividad #2 en la plataforma Aleks.  Realiza en tu cuaderno la siguiente lista de ejercicios.  Realicemos la actividad de la página 22 y 23.  Realizar la Actividad #2 en la plataforma Aleks. Z Z

29 OBJETIVOOBJETIVO ¿Qué voy a aprender?  Operar en Z (adición, sustracción) de forma numérica, aplicando el orden de operación. ¿Cómo voy a prender? Proyección, ejemplos prácticos, actividades en clase, actividades en casa y ALEKS. ¿Para qué voy a aprender? Para solucionar problemas del entorno diario.

30 TEMA:TEMA: Sustracción de números enteros (Z) ¿Qué resultados obtuvieron? Veamos la siguiente situación y determina la solución del problema de la página 24 del libro. ¿Qué resultados obtuvieron? Reflexiona: ¿Cuántos goles le falta al equipo C para igualar el resultado del equipo B? Z Z MINUENDOSUSTRAENDO DIFERENCIA -= Goles a favor (+) Goles en contra (-) ResultadoExpresión numérica Equipo A+30-10 Equipo B+30-15 Equipo C+22-30

31 TEMA:TEMA: Sustracción de números enteros (Z) Se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. Z Z (-6)(-6) (-1)(-1) - -61 + 5 - MINUENDOSUSTRAENDO DIFERENCIA -= 0 - -1 - -2 - -3 - -5 - -6 - -7 - -8 - -9 - La temperatura en la noche fue de -1 ºC y en la madrugada llegó a los -6 ºC. ¿Qué diferencia de temperatura hubo en esas horas?.

32 TEMA:TEMA: Sustracción de números enteros (Z) SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN Z Z - ---– - 3 + { - [ 7 - ( - 5 + 9 ) – 13 ] + 8 } ( ) Paréntesis MINUENDOSUSTRAENDO DIFERENCIA -= [ ] Corchetes { } Llaves + + = + + - = - - + = - - - = + Ley de los Signos

33 PARA EJERCITAR  Realiza en tu cuaderno los ejercicios planteados en el aula.  Realicemos la actividad de la página 26.  Realiza en tu cuaderno los ejercicios planteados en el aula.  Realicemos la actividad de la página 26. Z Z

34 OBJETIVOOBJETIVO ¿Qué voy a aprender?  Operar en Z (multiplicación) de forma numérica, aplicando el orden de operación.  Deducir y aplicar las propiedades algebraicas (adición y multiplicación) de los números enteros en operaciones numéricas. ¿Cómo voy a prender? Proyección, ejemplos prácticos, actividades en clase, actividades en casa y ALEKS. ¿Para qué voy a aprender? Para solucionar problemas del entorno diario.

35 ¿Cuál será la temperatura? Z Z (-3)(-3) (+5) · 15 - 0 - -3 - -6 - -9 - -12 - -15 - -18 - -21 - -24 - Una congeladora de 0 ºC de temperatura ha descendido un promedio de -3 ºC cada hora, este descenso lo realiza por cinco horas. Indica su nueva temperatura. TEMA:TEMA: Multiplicación de números enteros (Z) MULTIPLICANDOMULTIPLICADOR PRODUCTO TOTAL x=

36 TEMA:TEMA: Propiedades de la multiplicación (Z) Ejemplo: El producto obtenido al multiplicar números enteros es un número entero. Ejemplo: PROPIEDAD CLAUSURATIVA Z Z (-8) · (-9) = +72 (+9) · (-8) = -72 MULTIPLICANDOMULTIPLICADOR PRODUCTO TOTAL x=

37 TEMA:TEMA: Propiedades de la multiplicación (Z) Ejemplo: En toda multiplicación el orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: PROPIEDAD CONMUTATIVA Z Z (+8) · (-9) = -72 (-9) · (+8) = -72 MULTIPLICANDOMULTIPLICADOR PRODUCTO TOTAL x=

38 TEMA:TEMA: Ejemplo: Al asociar dos o mas valores de una multiplicación, en distinto orden, el producto no se altera. Ejemplo: PROPIEDAD ASOCIATIVA Z Z (-4 · 2) · 5 -4 · (+2 · 5) Propiedades de la multiplicación (Z) MULTIPLICANDOMULTIPLICADOR PRODUCTO TOTAL x=

39 TEMA:TEMA: Ejemplo: El producto de un número entero con el 1, da como resultado el mismo número entero. Ejemplo: PROPIEDAD MODULATIVA (ELEMENTO NEUTRO) Z Z 1 · (-41) = -41 (+27) · 1 = +27 (+27) · 1 = +27 Propiedades de la multiplicación (Z) MULTIPLICANDOMULTIPLICADOR PRODUCTO TOTAL x=

40 TEMA:TEMA: CEROCEROEjemplo: El producto de un número entero con el CERO, da como resultado CERO. Ejemplo: ELEMENTO NULO Z Z 0 · (-41) = 0 (+27) · 0 = 0 (+27) · 0 = 0 Propiedades de la multiplicación (Z) MULTIPLICANDOMULTIPLICADOR PRODUCTO TOTAL x=

41 TEMA:TEMA: Ejemplo: La multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos. Ejemplo: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Z Z (-2) · (+6 - 8) (-10) · (-5 + 10) (-10) · (-5 + 10) Propiedades de la multiplicación (Z) MULTIPLICANDOMULTIPLICADOR PRODUCTO TOTAL x=

42 PARA EJERCITAR  Realiza en tu cuaderno la siguiente lista de ejercicios (http://www.vitutor.com/di/e/a_5e.html).http://www.vitutor.com/di/e/a_5e.html  Realicemos la actividad de las páginas 29 y 30.  Realizar la Actividad #3 en la plataforma Aleks.  Realiza en tu cuaderno la siguiente lista de ejercicios (http://www.vitutor.com/di/e/a_5e.html).http://www.vitutor.com/di/e/a_5e.html  Realicemos la actividad de las páginas 29 y 30.  Realizar la Actividad #3 en la plataforma Aleks. Z Z

43 OBJETIVOOBJETIVO ¿Qué voy a aprender?  Operar en Z (adición, sustracción, multiplicación, división) de forma numérica, aplicando el orden de las operación. ¿Cómo voy a prender? Proyección, ejemplos prácticos, actividades en clase, actividades en casa y ALEKS. ¿Para qué voy a aprender? Para solucionar problemas del entorno diario.

44 ¿Cuánto descendió en cada etapa? Z Z (-20) (+4) ÷ 5 - Un submarino descendió hasta una profundidad de 20 m en 4 etapas. En cada etapa, se sumergió la misma cantidad de metros. Calcula, ¿cuánto descendió en cada etapa? TEMA:TEMA: División de números enteros (Z) DIVIDENDODIVISORCOCIENTE ÷= 0 - 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - 14 - 16 - 18 - 20 - 22 -

45 PARA EJERCITAR  Realiza en tu cuaderno la siguiente lista de ejercicios.  Realicemos la actividad de la página 32.  Realizar la Actividad #4 en la plataforma Aleks.  Realiza en tu cuaderno la siguiente lista de ejercicios.  Realicemos la actividad de la página 32.  Realizar la Actividad #4 en la plataforma Aleks. Z Z

46 COMENCEMOSCOMENCEMOS ¿Representa las siguientes expresiones matemáticas en una sola operación?  (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2)=  (+5) x (+5) x (+5) x (+5) x (+5) x (+5) =  3 + 3 + 3 + (-4) x (-4) x (-4) =  (-12) x (-12) x (-12) x (-12)

47 OBJETIVOOBJETIVO ¿Qué voy a aprender? Calcular la potencia de números enteros con exponentes naturales. ¿Cómo voy a prender? Proyección, ejemplos prácticos, actividades en clase, actividades en casa y ALEKS. ¿Para qué voy a aprender? Para solucionar problemas del entorno diario.

48 TEMA:TEMA: La Potenciación ¿Cuántas bacterias crecerán después de 4 horas? Veamos sus partes… HORAS Nº BACTERIAS POTENCIAS 1 2 2 3 4 2

49 TEMA:TEMA: La Potenciación EXPONENTE BASE Ahora veamos como se lee y escribe… (-4) = x = 16 POTENCIA

50 Continuemos… TEMA:TEMA: La Potenciación – Lectura y escritura

51 EXPONENTE ES PAR O IMPAR BASE Siguiente regla… (+4) = x = 16 POTENCIA POSITIVA TEMA:TEMA: La Potenciación - Reglas 1

52 EXPONENTE ES PAR BASE Siguiente regla… (-4) = x = 16 POTENCIA POSITIVA TEMA:TEMA: La Potenciación - Reglas 2

53 EXPONENTE ES IMPAR BASE Ahora practiquemos… (-4) = x = -64 POTENCIA NEGATIVA TEMA:TEMA: La Potenciación - Reglas 3 (-4) x

54 TEMA:TEMA: La Potenciación Determine el signos en las siguientes potencias. Veamos ahora sus propiedades…

55 Ahora practiquemos… (-4) · TEMA:TEMA: Producto de potencias de igual base 1 = (-4) = =

56 TEMA:TEMA: Producto de potencias de igual base Aplique la propiedad en las siguientes potencias: Veamos ahora la siguiente propiedad… 1.2 2 ·2 3 ·2 5 = 2.3 –4 ·3 5 ·3 –1 = 3.b –2 ·b –3 ·b 4 ·b –5 ·b 7 = 4.5 –2 ·5 –1 ·5 3 ·5 2 ·5 –1 = 5.a 3 ·a 4 ·a –2 ·a –4 ·a 2 = 6.–2 –1 ·(–2 –1 )·(–2 –1 )·(–2 4 ) = 7.–1 –1 ·(–1 –1 )·(–1 –1 )·(–1 72 ) = 8.x 3 ·x –4 ·x 34 ·x –29 = 9.–x –3 ·(–x 4 )·(–x 6 )·(–x –5 ) = 10.n –45 ·n 72 ·n –12 ·n 49 = 11.–23 11 ·(–23 –15 )·(–23 4 ) = 12.–35 –1 ·(–35 4 )·(–35 –2 ) = 13.–11 6 ·(–11 –4 )·(–11 –8 ) = 14.–3 2 ·(–3 3 )·(–3 –4 )·(–3 –5 ) = 15.–2 3 ·(–2 –4 )·(–2 5 )·(–2 0 ) = 16.–1 –75 ·(–1 –78 )·(–1 168 ) =

57 Ahora practiquemos… (-6) : TEMA:TEMA: Cociente de potencias de igual base 2 = (-6) = =

58 TEMA:TEMA: Cociente de potencias de igual base Aplique la propiedad en las siguientes potencias: Veamos ahora la siguiente propiedad… 1.–2 3 :(–2 –3 ) = 2. –4 3 :(–4 8 ) = 3.5 4 :(5 7 ) = 4.–5 –2 :(–5 4 ) = 5.–1 –24 :(–1 15 ) = 6.–2 5 :(–2 –2 ) = 7.–15 2 :(–15 2 ) = 8.–1 –3 :(–1 6 ) = 9.3 –1 : 3 –5 = 10.–2 6 :(–2 4 ) = 11.4 5 : 4 –9 = 12.–3 3 :(–3 5 ) = 13.–1 29 :(–1 –36 ) = 14.1 –36 :1 72 = 15.–2 6 :(–2 –8 ) =

59 Ahora practiquemos… (-4) TEMA:TEMA: Potencia de una potencia 3 = (-4) = = ( )

60 TEMA:TEMA: Potencia de una potencia Aplique la propiedad en las siguientes potencias: Veamos ahora la siguiente propiedad… 1.((–2 3 ) –1 ) 2 = 2.(((–5 2 ) –5 ) –1 ) = 3.(((–4 3 ) –3 ) –1 ) = 4.(((5 4 ) –1 ) –2 ) = 5.(((–1 24 ) 2 ) –2 ) = 6.(((–2 5 ) 4 ) –2 ) = 7.((((3 –2 ) –1 ) –1 ) –1 ) = 8.((((–2 6 ) –1 ) –5 ) 4 ) = 9.((((4 5 ) 2 ) –1 ) –1 ) = 10.((((–3 3 ) 3 ) –3 ) –1 ) = 11.((((–1 2 ) –2 ) –2 ) –2 ) = 12.((((–15 2 ) –1 ) –2 ) –3 ) =

61 Ahora practiquemos… (-4 · 3) TEMA:TEMA: Potencia de un producto 4 = (-4) (3) +169 +144

62 TEMA:TEMA: Potencia de un producto Aplique la propiedad en las siguientes potencias: Veamos ahora la siguiente propiedad… 1.(–2 · 5) 2 = 2.(–5 · 3) –5 = 3.(–4 · 2) 3 = 4.(5 · -3) 2 = 5.(–1 · 9) 2 = 6.(–2 · -8) 4 = 7.(3 · -7) –1 = 8.(–2 · -5 · 3) 0 = 9.(4 · 3 · -1) 2 = 10.(–3 · -4 · 5) 3 = 11.(–1 · 0) –2 = 12.(–15 · -2 · 5) 0 =

63 Ahora practiquemos… TEMA:TEMA: Potencia de un cociente 5 =

64 TEMA:TEMA: Aplique la propiedad en las siguientes potencias: Veamos ahora la siguiente propiedad… 1.. 2.. 3.. 7.. 8.. 9..

65 PARA EJERCITAR  Realicemos la actividad de la página 35.  Realizar la Actividad #7, 8 y 9 en la plataforma Aleks.  Realicemos la actividad de la página 35.  Realizar la Actividad #7, 8 y 9 en la plataforma Aleks. Z Z

66 COMENCEMOSCOMENCEMOS ¿Cuántos invitados habrá? Un grupo de 15 estudiantes decide organizar una actividad de integración. Para convocar la mayor cantidad de personas, cada estudiante debe llamar a tres invitados y cada invitado debe llamar a otras tres personas distintas.

67 OBJETIVOOBJETIVO ¿Qué voy a aprender? Calcular raíces de números enteros no negativos que intervienen en expresiones matemáticas. ¿Cómo voy a prender? Proyección, ejemplos prácticos, actividades en clase, actividades en casa y ALEKS. ¿Para qué voy a aprender? Para solucionar problemas del entorno diario.

68 EXPONENTE BASE Ahora veamos como se lee y escribe… 4 = 64 POTENCIA ÍNDICE CANTIDAD SUBRADICAL = 4 TEMA:TEMA: La Radicación

69 TEMA:TEMA: La Radicación – Lectura y escritura Ejercitemos…

70 ÍNDICE ES PAR O IMPAR CANTIDAD SUBRADICAL Siguiente regla… RAÍZ TEMA:TEMA: La Radicación - Reglas 1 = 5

71 ÍNDICE ES IMPAR CANTIDAD SUBRADICAL Siguiente regla… RAÍZ TEMA:TEMA: La Radicación - Reglas 2 = -4

72 ÍNDICE ES PAR CANTIDAD SUBRADICAL Ahora practiquemos… RAÍZ TEMA:TEMA: La Radicación - Reglas 3 =

73 TEMA:TEMA: La Radicación A partir de las potencias dadas escribe las raíces correspondiente. Veamos ahora sus propiedades…

74 TEMA:TEMA: La Radicación Hallar el valor de las siguientes raíces. Veamos ahora sus propiedades…

75 Veamos la siguiente propiedad… TEMA:TEMA: Raíz de un producto 1 =· = -2 · 3 = -6

76 Veamos la siguiente propiedad… TEMA:TEMA: Raíz de un cociente 2 ó

77 Veamos la siguiente propiedad… TEMA:TEMA: Raíz de una potencia 3 = = = 4

78 Ahora practiquemos en el cuaderno… TEMA:TEMA: Raíz de una raíz 4 = = = 2

79 COMENCEMOSCOMENCEMOS ¿Cuál es la temperatura promedio? Todos los días a las seis de la mañana, durante una semana, se registraron las siguientes temperaturas: 15 ºC 8 ºC -2 ºC -4 ºC -5 ºC 6 ºC 10 ºC () ()() []++ + + + + ÷ 7

80 OBJETIVOOBJETIVO ¿Qué voy a aprender? Realizar operaciones combinadas en Z aplicando el orden de operación y verificar resultados utilizando la tecnología. ¿Cómo voy a prender? Proyección, ejemplos prácticos, actividades en clase, actividades en casa y ALEKS. ¿Para qué voy a aprender? Para solucionar problemas del entorno diario.

81 ¿Qué son los polinomios aritméticos? TEMA:TEMA: Polinomios aritméticos con números enteros Polys (Mucho) nómos (Regla)

82 Ahora, practiquemos todos juntos… TEMA:TEMA: Polinomios aritméticos con números enteros