1. De los números naturales a los enteros

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1 1. De los números naturales a los enteros
Index NÚMEROS ENTEROS 1. De los números naturales a los enteros 2. Representación de los números enteros 3. Valor absoluto y ordenación de números enteros 4. Suma de números enteros 5. Opuesto de un número entero 6. Resta de números enteros 7. Operaciones con paréntesis 8. Multiplicación de números enteros 9. División exacta de números enteros 10. Propiedades de las operaciones de números enteros 11. Operaciones combinadas 12. Resolución de problemas AMPLIACIÓN

2 NÚMEROS ENTEROS (Ampliación) SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
OPERACIONES CON PARÉNTESIS RESUMEN – EJERCICIOS RESUELTOS MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS OPERACIONES COMBINADAS POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES COMBINADAS (2)

3 Buena temperatura: + 20 ºC Mucho frío: – 20 ºC
De los números naturales a los enteros +20 +7 Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo – 250 – 20 +5000 – 776 – 7 – 5000 Buena temperatura: + 20 ºC El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar Mucho frío: – 20 ºC Soy rico: tengo euros Debo dinero: “tengo” euros Los números enteros están formados por: enteros positivos, enteros negativos y el cero Los números naturales se consideran enteros positivos. Por cada entero positivo hay un entero negativo. Van precedidos por un signo menos (–)

4 1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0.
Representación de los números enteros Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos: 1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0. 2º. A la derecha del 0 se representa el +1. 3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos. Negativos Positivos –5 –4 –3 –2 –1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 4º. A la izquierda del 0 se colocan los enteros negativos. 4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros positivos.

5 Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero:
Valor absoluto de un número entero Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero: –2 +2 +1 +2 +3 +4 +5 +6 –1 –2 –3 –4 –5 Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso: El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2. Se indica así: Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras Otro ejemplo:

6 Se indica escribiéndolo entre barras. Así:
Valor absoluto y ordenación de los números enteros Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo Se indica escribiéndolo entre barras. Así: Ordenación: Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando en la recta numérica está a la derecha. Más pequeños Más grandes +1 +3 +2 +4 +6 –5 +5 –4 –3 –2 –1 Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo. Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

7 Para sumar dos números enteros del mismo signo:
Suma de enteros del mismo signo Para sumar dos números enteros del mismo signo: 1.º Se suman sus valores absolutos. 2.º Al resultado se añade el signo que tienen. (+6) + (+12) = +18 (+4) + (+21) = +25 (+2) + (+3) = +5 +3 +2 +1 +3 +2 +4 +6 +5 –2 –1 (–2) + (–3) = –5 (–4) + (–11) = –15 (–17) + (–31) = –48 –3 –2 –4 –3 –1 –2 +2 +1 –6 –5

8 Para sumar dos números enteros de distinto signo:
Suma de números enteros de distinto signo Nos han dado 12 euros Teresa y Miguel hacen cuentas ... (+12) + (–9) = +3 Y hemos gastado 9 euros Les quedan 3 euros Carola y Pablo también hacen sus cuentas ... Nos han dado 18 euros Y hemos gastado 19 euros ¿Les queda o deben dinero? (+18) + (–19) = –1 Deben 1 euro (Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto). Para sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor. 2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.

9 Para sumar varios números enteros:
Suma de varios números enteros Veamos un ejemplo: (+100) + (–40) + (–70) + (+50) = (+100) + (+50) + (–40) + (–70) = = (+150) + (–110) = +40 Para sumar varios números enteros: 1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos. 2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido. Otros ejemplos: (+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5 (+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17 Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos.

10 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número
Opuesto de un número entero 4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Se llaman opuestos. 4 = op.(–4) –4 = op. (+4) Opuesto del opuesto: op.(–5) = 5 +1 +2 +3 +4 +5 +6 –1 –2 –3 –4 –5 –6 op.(5) = –5 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b) 8 –2 6 –8 2 –6 –6 –7 –5 –12 7 5 12 12 Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos.

11 El signo – tiene dos significados:
Resta de números enteros Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. (+9) – (+5) = 9 – 5 = 4 (+9) – (–5) = = 14 (–9) – (+5) = –9 – 5 = –14 (–9) – (–5) = –9 + 5 = –4 El signo – tiene dos significados: 1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5 2º. Como indicador de número negativo: –3 Algunos ejemplos: (+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0). (–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – – 10 = – = –8 –7 – – = –7 – 12 – = – = 43

12 Vamos a calcular: 9 – (12 + 3) Calculamos ahora: 12 – (10 – 6)
El uso del paréntesis 9 – (12 + 3) Vamos a calcular: 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6 2º. También se puede hacer así: 9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6 Como ves, sale el mismo resultado. 12 – (10 – 6) Calculamos ahora: Son iguales 1º. Operando antes el paréntesis: 12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8 2º. También se puede hacer así: 12 – (10 – 6) = op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – = 8 Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras: 1º. Haciendo las operaciones del paréntesis. 2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene.

13 se puede calcular de dos maneras:
Operar con paréntesis 8 + (4 – 14) La expresión: se puede calcular de dos maneras: 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2 2º. Quitando el paréntesis: 8 + (4 – 14) = – 14 = 12 – 14 = – 2 Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él. 15 – (12 – 2) Análogamente: se puede calcular de dos maneras: 1º. Operando antes el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – = = 5 Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro. Otros ejemplos: (a) (17 – 38) – (– ) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis). (c) 8 – (– – 19) = – = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis).

14 Multiplicación de enteros de distinto signo
Ejemplo: Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha gastado después de haber ido tres veces? Cada vez que va al cine gasta 6 euros – 6 Va tres veces + 3 (– 6) · (+ 3) = – 18 Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros – 18 Gráficamente: –6 –6 –6 +6 +12 –24 –18 –12 –6 El producto de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. Otros ejemplos: (a) (–7) ·(+ 9) = – 63 (b) (+12) · (–12) = –144 (c) (– 13) · (+4)= –52

15 Hay cuatro posibilidades: Regla de los signos:
Multiplicación de números enteros Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. Hay cuatro posibilidades: Regla de los signos: (+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63 + · + = + (+7) · (– 9) = –(7·9) = –63 + · – = – (–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63 – · + = – (–7) · (– 9) = +(7·9) = +63 – · – = + Observa: 1º. Se halla el producto de sus valores absolutos. 2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo. Otros ejemplos: (a) (+5) · (– 1) = –55 (b) (–5) ·(+7) = –35 (c) (–3) · (–9) = 27

16 Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en el
Producto de varios enteros Calculamos – 4 · 8 · (–3) Observa: –4 · 8 · (–3) = –32 · (–3) = 96 Se obtiene el mismo resultado –4 · 8 · (–3) = –4 · (–24) = 96 Luego: Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en el orden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas. Otros ejemplos: 1º. El producto –5 · 7 · (–3) puede hacerse: –5 · 7 · (–3) = –35 · (–3) = 105 –5 · 7 · (–3) = –5 · (–21) = 105 2º. 5 · 8 · (–4) · 3 5 · 8 · (–4) · 3 = 40 · (–12) = –440

17 Pueden darse cuatro casos: Regla de los signos:
División exacta de números enteros Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. Pueden darse cuatro casos: Regla de los signos: (+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3 + : + = + Es la misma que para la multiplicación (+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8 + : – = – (–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7 – : + = – (–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6 – : – = + Otros ejemplos: (a) 15 : (– 5) = – (15 : 5) = –3 (b) (–54) : (+6) = –(54 : 6) = –9 (c) –35 : 7 = –5 (d) – 72 : (–9) = 8 Observación: El paréntesis es necesario cuando se divide por un número negativo. En cualquier otro caso es optativo.

18 De la suma Observa: Del producto Observa: Suma Producto
Propiedad conmutativa De la suma Observa: 7 +(– 12) = – 5 7 +(– 12) = (–12) + 7 (– 12) + 7 = – 5 La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos. Del producto Observa: 4 · (– 5) = – 20 4 · (– 5) = (– 5) · 4 (– 5) · 4 = – 20 El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores. Otros ejemplos: Suma (–5) + 7 = 7 +(–5) = 2 2 + (–13) = (–13) + 2 = –11 Producto (– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27 (+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48

19 puede hacerse de dos maneras:
Propiedad asociativa de la suma La suma 10 + (–5) + (–2) puede hacerse de dos maneras: 1º. Sumando los dos primeros números al tercero: [10 + (–5)] + (–2) = 5 + (–2) = 3 2º. Sumando el primer número a los otros dos: 10 + [(–5) + (–2)] = 10 + (–7) = 3 Propiedad asociativa de la suma Luego: [10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) + (– 2)] La suma de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos Otro ejemplo: [(–5) + 17] + (–8) = (–8) = 4 (–5) + [17 + (–8)] = – = 4

20 puede hacerse agrupando los factores de dos formas distintas:
Propiedad asociativa del producto El producto (–12) · 8 · (–5) puede hacerse agrupando los factores de dos formas distintas: 1º. (los dos primeros) · (el tercero): [(–12) · 8] · (–5) = (–96) · (–5) = 480 2º. (el primero) · (el producto de los otros dos): Propiedad asociativa del producto (–12) · [8 · (–5)] = (–12) · (–40) = 480 Luego: [(–12) · 8] · (–5) = (–12) · [8 · (–5)] El producto de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos Otro ejemplo: [(–5) · 7] · (–3) = –35 · (–3) = 105 (–5) · [7 · (–3)] = –5· (–21) = 105

21 distributiva de la multiplicación
Propiedad distributiva El valor de la expresión –5 · (–3 + 7) puede calcularse de dos formas distintas: Una forma: Otra forma: Hacemos primero la suma y a continuación la multiplicación. Multiplicamos el factor por cada sumando y después sumamos. –5 · (–3 + 7) = –5 · 4 = –20 –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) +(–5) · 7 = (–35) = –20 El resultado es el mismo Esta es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma Luego: –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7 El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos del número entero por cada uno de los sumandos. Otro ejemplo: 15 · [– (–17)] Sumando antes: 15 · [– (–17)] = 15 · (–19) = –285 Multiplicando por cada sumando: 15 · [– (–17)] = 15 · (–10) + 15 · · (–17) = – (–255) = –285

22 los sumandos son productos. En ambos se repite el factor –3.
Factor común En la suma –3 · 7 + (–3) · (–2) los sumandos son productos. En ambos se repite el factor –3. Hemos sacado factor común. Decimos que –3 es factor común. Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda. Podemos escribir: –3 · 7 + (–3) · (–2) = –3 · [7 + (–2)] Otros ejemplos: (a) 5 · (–10) + 5 · (–17) 5 · [–10 + (–17)] = 5 · (–27) = –135 (b) –6 · (–12) + (–6) · 17 + (–6) · (–9) El factor común es –6. –6 · [(–12) (–9)] = –6 · (–4) = –24 (c) –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12 Aparentemente no hay factor común. Pero como 27 = –9 · (–3), se tiene: –9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] = –9 · (–44) = 396

23 El orden de las operaciones es:
Operaciones combinadas. Sin paréntesis Ejemplos: (a) La operación –5 · 6 + (–4) · 8 +30 debe realizarse en el siguiente orden: = –32 Primero hemos hecho los productos y después las sumas – (–32) + 30 (b) Para hallar –30 : 6 + (–3) · hay que seguir el siguiente orden: Primero divisiones y productos, después las sumas – (–12) + 14 = –3 El orden de las operaciones es: 1º Multiplicaciones y divisiones. 2º Sumas y restas. Otros ejemplos: 1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – = 21 Operando en el paréntesis 2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17) –48 – 3 · (–5) = – = –33 Aplicando la propiedad distributiva 8 · (– 6) – 3 · 12 –3 · (–17) = –48 – = –33

24 Ejemplo: El orden a seguir es: La operación
Operaciones combinadas. Con paréntesis Ejemplo: La operación –12 + [8 + (–14) : 2] + [–7 + (–9) · 5] Se hace así: – [8 + (–7)] [–7 + (–45)] – (–52) = –63 El orden a seguir es: 1º Operar dentro de los paréntesis. 2º Hacer las multiplicaciones y divisiones. 3º Hacer las sumas y restas. Otros ejemplos: 1º –6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–16) + (–1) · (–9) = = 105 2º El mismo ejemplo aplicando la propiedad distributiva –6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–4) + (–6) · (–12) ] + 4 · (–9) + (–5) · (–9) = – = 105 3º [15 : (–5) + (–2) ] + [ (–8) · (–3) + 10] + (–5) = [(–3) + (–2) ] + [ ] + (–5) = – – 5 = 24

25 Resumimos con los siguientes casos:
Operaciones combinadas. Resumen Resumimos con los siguientes casos: Caso 1: –12 + (–3) · (+4) + (–9) = –12 + (–12) + (–9) = –33 Caso 2: [–12 + (–3)] · (+4) + (–9) = (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69 Caso 3: –12 + (–3) · [(+4) + (–9)] = –12 + (–3) · (–5) = – = 3 Caso 4: [–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)] = –15 · (–5) = 75 Observa que en todos los casos hay los mismos números y operaciones. Cambia la situación de los paréntesis

26 Organizados los datos y hechos los tanteos:
Resolución de problemas (I) Problema: Laura, Pedro y María se reúnen para organizar sus cuentas. Entre Laura y Pedro tienen 37 euros. Ente Pedro y María tienen 58 euros. Entre Laura y María deben 69 euros. ¿Cuánto dinero tiene o debe cada uno? Organizados los datos y hechos los tanteos: Primero: Pensar un problema más fácil Laura y Pedro: + 37 Observando los datos vemos que Laura, Pedro y María, aparecen dos veces cada uno. Pedro y María: + 58 Laura y María: – 69 Luego el doble de lo que tienen es la suma total: – 69 = 26 Por tanto, entre los tres tienen 13 euros (la mitad de 26). Laura tendrá 13 – 58 (lo que tienen Pedro y María): 13 – 58 = – 45 Como entre Laura y María “tienen” –69, María tendrá: –69 –(–45) = –24 Como entre Pedro y María tienen 58, Pedro tendrá: 58 – (–24) = 82 Segundo: Comprobación. Laura y Pedro: – = 37. Pedro y María: 82 – 24 = 58. Laura y María: –45 + (–24) = – 69 Y entre los tres: (–24) = 13.

27 para que el producto sea
Resolución de problemas (II) Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto es igual a 60. ¿Cuáles son esos números? ¿Has advertido que para que el producto sea 60, los dos números deben ser negativos? Primero: Tantear para comprender mejor Si los números suman – 19, uno podría ser –29 y el otro 10. Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290. No puede ser, pues su producto debe ser 60. ¿Por qué no valdrían dos números positivos? Segundo: Hacer una tabla Luego, los números buscados son –4 y –15. Tercero: Comprobación. La suma es: –4 + (–15) = –19. Su producto vale: (–4) · (–15) = 60 Que son las condiciones requeridas.

28 Resolución de problemas (III)
Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento? Primero: Leer el enunciado y resumirlo. Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.? +25 durante 15 min. Segundo: Hacer un dibujo explicativo. Hay 800 l -30 Tercero: Hacer los cálculos. · 15 – (30 · 15) = – 450 = 725 Cuarto: Comprobación. Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5) En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75. Quedan entonces: 800 – 75 = 725.

29 Suma de valores absolutos: 84
Técnicas y estrategias PROBLEMA La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a 84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números? TANTEA Si los números fueran 4 y –7, tendríamos que: Suma de valores absolutos: No puede ser, los resultados no coinciden. Suma de los números: (–7) = –3. Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo ELIGE UNA ESTRATEGIA Representamos la situación sobre la recta numérica: Un número negativo Sumando positivo – + 36 36 Suman 36 Suma de valores absolutos: 84 Luego 84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo. RESUELVE EL PROBLEMA 84 – 36 = 48; la mitad es 24. 24 será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será – 24. Y el otro número, = 60 COMPRUEBA – = 36 Correcto.

30 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS:
1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO SE SUMAN y el resultado queda con el MISMO SIGNO que tienen los números que sumé. EJEMPLO: = = POSITIVOS POSITIVO NEGATIVOS NEGATIVO 2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto) y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto). EJEMPLO: = -2 ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO = 2 ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO

31 OPERACIONES CON PARÉNTESIS
Si delante de un paréntesis, corchete o llave NO HAY NADA entonces hay un signo positivo que no se escribe. EJEMPLO: HAY UN SIGNO POSITIVO 4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay : un SIGNO NEGATIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y SE CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro. - ( ) = SE CAMBIAN LOS SIGNOS EJEMPLO: un SIGNO POSITIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro. ( ) = NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS EJEMPLO:

32 RESUMIENDO: 1) Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos: 1er PASO: Sumo los positivos ( ) = 13 2º PASO: Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis - ( ) = - 17 3er PASO: Me queda ( ) - ( ) Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor = - 4 La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.

33 EJERCICIO RESUELTO 1 Eliminar paréntesis: Si delante del paréntesis
a) Eliminando paréntesis, corchetes y llaves: Eliminar paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo: saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual. Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis: Eliminar llaves: proceso igual que con paréntesis Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativo a éstos últimos Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor

34 EJERCICIO RESUELTO 2 Resuelvo lo que está dentro de los paréntesis:
b) Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves: Resuelvo lo que está dentro de los paréntesis: Eliminar los paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual. Resuelvo lo que está dentro de los corchetes Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis Resuelvo lo que está dentro de las llaves Eliminar llaves: Procedo igual que con paréntesis Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativos a éstos últimos Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor

35 MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE ENTEROS
1) Si multiplico o divido números enteros tengo que atenerme a la siguiente regla de signos: a) = + EJEMPLO: = 16 + : = + 8 : = 4 b) = + EJEMPLO: (- 2) = 16 - : = + - 8 : (- 2) = 4 c) = - EJEMPLO: (- 2) = + : = - 8 : (- 2) = - 4 d) = - EJEMPLO: = - : = - - 8 : = - 4 Si detrás de un número hay un número negativo entre paréntesis, quiere decir que entre los dos hay un signo de multiplicación que puede no escribirse. EJEMPLO: HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION Cuando dos paréntesis, corchetes o llaves están juntos uno cerrado y el otro abierto y no hay ningún signo entre ellos , hay un signo de multiplicación que puede no escribirse. EJEMPLO: HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION

36 OPERACIONES COMBINADAS
Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división, debo primero separar en términos. Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que está en cada término. Por ejemplo: Si el ejercicio combinado tiene paréntesis, corchetes y/o llaves, se procede así: Separo en términos lo que está dentro de los paréntesis y lo resuelvo: Separo los términos que están dentro de los corchetes y resuelvo: Separo los términos que están dentro de las llaves y resuelvo

37 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I)
Cuando un número (base) está elevado a otro número (exponente) significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente. 1) Propiedad de potencias de igual base: a) Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes. b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes. EJEMPLOS: 2) Si una potencia está elevada a otro número, se MULTIPLICAN los exponentes. EJEMPLO:

38 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II)
Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo signo es igual al de la base. EJEMPLO: 5) Propiedades: a) La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN EJEMPLO: b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA. EJEMPLO:

39 RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I)
Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando. PROPIEDADES DE LA RADICACION: 1. Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN. EJEMPLOS: En la multiplicación En la división 2. NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA. EJEMPLOS: En la suma En la resta

40 RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II)
3.Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo. EJEMPLO: 4. Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando. EJEMPLO: 5. Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices. EJEMPLO:

41 EJERCICIO RESUELTO 3 Ejercicio combinado (suma-resta, multiplicación-división y potencia–raíz) Separo en términos los que está dentro de los paréntesis: Resuelvo primero raíces y potencias dentro de los paréntesis: Resuelvo multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis: Resuelvo sumas y restas dentro de los paréntesis: Separo en términos lo que está dentro de los corchetes y lo resuelvo en el mismo orden que con los paréntesis: Separo en términos lo que está dentro de las llaves y lo resuelvo: