Unidad 1 Capítulo V La solución de una Ecuación Diferencial

U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial No existe el método de solución de las ecuaciones diferenciales, hay diferentes técnicas y cada una de ellas aplica a distintas clases de ecuaciones. Estas técnicas puede involucrar la resolución de una o más integraciones. Las ecuaciones que se pueden resolver por integración directa son la excepción más que la regla. Para resolver una ecuación diferencial es necesario clasificarla y aplicar el método de solución adecuado. Algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse mediante ciertos artificios, algunas otras simplemente no se pueden resolver en forma analítica.

para cualquier valor de x U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial En las ecuaciones algebraicas se buscan valores discretos que satisfagan una ecuación; sin embargo, en ecuaciones diferenciales, se buscan funciones que satisfagan la ecuación en un intervalo específico. Por ejemplo, los números 2 y 3 satisfacen la ecuación algebraica . Pero la función satisface la ecuación diferencial para cualquier valor de x

U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial Las ecuaciones diferenciales tienen múltiples soluciones, que contienen al menos una constante arbitraria. Cualquier función que satisfaga la ecuación diferencial en un intervalo se llama solución de esa ecuación diferencial. Una función con una o más constantes arbitrarias, que satisface la ecuación diferencial, representa una familia de funciones y se llama solución general. Una solución en la que las constantes arbitrarias tienen un valor específico se llama solución particular. Una solución que no se puede obtener a partir de aplicar valores a las constantes se llama solución singular.

Las derivadas primera y segunda de y = Ce3x son: U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial Ejemplo: Demuestre que la función y = Ce3x es una solución de la ecuación diferencial . Solución: La función dada es una solución de la ecuación diferencial correspondiente si al restar nueve veces la función de su segunda derivada se obtiene cero. Las derivadas primera y segunda de y = Ce3x son: Así: Por lo tanto, y = Ce3x es una solución de la ecuación diferencial .

Solución: Las derivadas de la función y = Ce2x + 2x + 2 son: U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial Ejemplo: Demuestre que la función y = Ce2x + 2x + 2 es una solución de . Solución: Las derivadas de la función y = Ce2x + 2x + 2 son: De esta manera: Por lo tanto, y = Ce2x + 2x + 2 es una solución de la ecuación diferencial .

Solución: Las derivadas de la función y = erx son: U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial Ejemplo: Determine los valores de r para los que la ecuación diferencial tiene una solución de la forma y = erx. Solución: Las derivadas de la función y = erx son: de esta manera: como erx ≠ 0, se tiene: (r2 – 1) = 0  r2 = 1 o bien r = 1 Por tanto, y1 = ex y y2 = e – x son soluciones de la ecuación diferencial .

Un análisis del modelo que representa la reacción de descomposición: U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial Un análisis del modelo que representa la reacción de descomposición: permite probar que su solución general es de la forma: Esta función describe el comportamiento de la cantidad de reactivo a lo largo de la reacción. Dado que C puede adoptar cualquier valor real, la gráfica de a(t) resulta en un conjunto infinito de curvas, denominado una familia de curvas integrales (ver figura).

Gráfica de la función , para k constante: U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial Gráfica de la función , para k constante: Como se puede ver, aunque el problema esté bien planteado, su solución específica depende del valor de la constante C. Por esta razón, la ecuación diferencial que modela este fenómeno puede tener un número infinito de soluciones.

U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial Dado que una ecuación diferencial es una relación entre variables y sus cambios, no incorpora información relativa a los valores de la función ni de sus derivadas. Así, es frecuente obtener ecuaciones diferenciales análogas como modelo de varios problemas que se relacionan con fenómenos dinámicos distintos. Por lo que, para obtener la solución única de un problema específico, es preciso disponer de información adicional a la ecuación diferencial que lo representa.

U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial Esta información debe especificar los valores que adoptan la función y/o sus derivadas para un valor de la variable. Al hacer que la solución general satisfaga las condiciones dadas, se obtiene el valor de la(s) constante(s). Estas condiciones se proporcionan por separado y se denominan en la forma siguiente: Iniciales (CI): cuando la función y/o sus derivadas se especifican para el mismo valor de la variable o A la frontera (CF): cuando se establecen para dos o más valores de la variable

U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial A una ecuación diferencial que se acompaña de un conjunto de condiciones iniciales se le conoce como un problema con valores iniciales y se denota PVI. A una ecuación diferencial que se acompaña de un conjunto de condiciones a la frontera se le conoce como problema con valores a la frontera y se denota PVF.

U-1. Cap. V. Solución de una Ecuación Diferencial Cualquier expresión que satisfaga la ecuación diferencial, incluyendo la función incógnita y las variables (y excluya las derivadas) es una solución. La función incógnita puede obtenerse en cualquiera de las dos formas siguientes: Explícita: Cuando se expresa en términos de la variable. Por ejemplo: o Implícita: Cuando no se expresar en términos de la variable. Por ejemplo: