35 Volumen de sólido mediante secciones. INTEGRALES
Habilidad Calcula volúmenes por el método del disco.
Volumen de un sólido de revolución Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.
Diferencial de volumen MÉTODO DEL DISCO Diferencial de volumen ∆xi f(xi) a xi b xi y=f(x) f(xi)
TEOREMA Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
Ejemplo 1 Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.
Ejemplo 2 Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1. y
Ejemplo 3 Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente: El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:
La curva gira alrededor de una recta paralela al eje x. b Y y=f(x) y=k elemento diferencial de volumen: f(x)-k dx diferencial de volumen: volumen del sólido:
Diferencial de volumen Método de la arandela Cuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b. Diferencial de volumen f(xi) g(xi) xi a b x x (*) y= f(x) y= g(x)
TEOREMA Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:
Ejemplo 4 Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.
Ejemplo 5
Ejemplo 6 Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Ejercicios 6.2 Pág. 430