Tele clase 12 Integración numérica, métodos de Gauss y de Romberg
Los métodos anteriores Trapecios
Los métodos anteriores Trapecios Simpson
En general donde los xi están distribuidos uniformemente en el intervalo [a, b] y los Ci toman valores adecuados para que la fórmula posea un error pequeño.
En general Trapecios Ci: h, h,..., h, Simpson Ci:
El método de Gauss donde tanto los Ai como los xi se determinen con el objetivo de disminuir el error de la fórmula.
El método de Gauss donde tanto los Ai como los ti se determinen con el objetivo de que la fórmula sea exacta para polinomios del mayor grado posible.
El método de Gauss A1, A2,..., Am 2m parámetros t1, t2,..., tm
El método de Gauss A1, A2,..., Am 2m parámetros t1, t2,..., tm El espacio vectorial de los polinomios de grado 2m-1 tiene dimensión 2m
El método de Gauss A1, A2,..., Am 2m parámetros t1, t2,..., tm El espacio vectorial de los polinomios de grado 2m-1 tiene dimensión 2m
El método de Gauss Si es exacta para todos los elementos de una base de P2m-1 entonces será exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que 2m-1
El método de Gauss para m = 3 Si es exacta para todos los elementos de una base de P5 entonces será exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que 5
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 }
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 }
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = 1
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = 1 1
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t 2
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t2
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t2 3
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t3
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t3 4
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t4
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t4 5
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t5
Una base inconveniente para P5 Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t5 6
Una base inconveniente para P5
Los polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre
Dos propiedades
Dos propiedades Los n ceros del polinomio de Legendre de grado n son reales y distintos y están en [-1, 1]
Dos propiedades Los n ceros del polinomio de Legendre de grado n son reales y distintos y están en [-1, 1] Si q es cualquier entero no negativo menor que n, se cumple que
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)}
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = 1
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = 1 1
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t 2
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t2
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t2 3
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = p3(t)
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = p3(t) 4
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t p3(t)
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t p3(t) 5
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t2 p3(t)
Una base conveniente para P5 {1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t2 p3(t) 6
Una base conveniente para P5
Una base conveniente para P5 t1, t2, t3: ceros de p3(t)
Una base conveniente para P5 t1, t2, t3: ceros de p3(t)
Una base conveniente para P5 t1, t2, t3: ceros de p3(t)
Una base conveniente para P5 t1, t2, t3: ceros de p3(t) t1= - 0,774597 t2= 0 t3= 0,774597
Una base conveniente para P5 t1, t2, t3: ceros de p3(t) t1= - 0,774597 A1= 0,555555... t2= 0 A2= 0,888888... t3= 0,774597 A3= 0,555555...
El método de Gauss para m = 3
El método de Gauss para m = 3 Es exacta para polinomios de grado menor o igual que 5 t1= - 0,774597 A3= 0,555555... t2= 0 A2= 0,888888... t3= 0,774597 A3= 0,555555...
El método de Gauss t1, t2,..., tm: Ceros del polinomio de Legendre pn
El método de Gauss A1, A2,..., Am: Solución del sistema lineal: i = 1, 2,..., m
El método de Gauss Exacta en P2m-1 A1, A2,..., Am: Solución del sistema lineal: i = 1, 2,..., m
El método de Gauss en [a, b]
El método de Gauss en [a, b]
El método de Gauss en [a, b]
El método de Gauss en [a, b] t = -1 x = a t = 1 x = b
El método de Gauss en [a, b] t = -1 x = a t = 1 x = b
El método de Gauss en [a, b]
El método de Gauss en [a, b]
El método de Gauss en [a, b]
El método de Gauss en [a, b] i = 1, 2, ..., m
Ejemplo Calcule aproximadamente: mediante el método de Gauss de tres puntos.
Solución t1= - 0,774597 t2= 0 t3= 0,774597
Solución t1= - 0,774597 t2= 0 t3= 0,774597
Solución t1= - 0,774597 t2= 0 t3= 0,774597
Solución t1= - 0,774597 t2= 0 t3= 0,774597
Solución t1= - 0,774597 x1= 0,1127015 t2= 0 t3= 0,774597
Solución t1= - 0,774597 x1= 0,1127015 t2= 0 x2= 0,5 t3= 0,774597
Solución t1= - 0,774597 x1= 0,1127015 t2= 0 x2= 0,5 t3= 0,774597 x3= 0,8872985
Solución x1= 0,1127015 x2= 0,5 x3= 0,8872985
Solución x1= 0,1127015 A3= 0,555555... x2= 0,5 A2= 0,888888... x3= 0,8872985 A3= 0,555555...
Solución x1= 0,1127015 A3= 0,555555... x2= 0,5 A2= 0,888888... x3= 0,8872985 A3= 0,555555...
Solución
Solución
Solución = 2.178456
Solución = 2.178456 Resultado exacto: 2.178445
Algoritmo Se quiere calcular: Por el método de Gauss de m puntos.
Algoritmo Se quiere calcular: Por el método de Gauss de m puntos. Datos: f(x), a, b, m, ti, Ai, i = 1,2,...,m
Algoritmo
Algoritmo Suma := 0
Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m
Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m
Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m Suma := Suma + Aif(xi)
Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m Suma := Suma + Aif(xi) end
Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m Suma := Suma + Aif(xi) end Integral := Suma(b-a)/2
Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m Suma := Suma + Aif(xi) end Integral := Suma(b-a)/2 El resultado es Integral
Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m Suma := Suma + Aif(xi) end Integral := Suma(b-a)/2 El resultado es Integral Terminar
En MN2000
En MN2000
En MN2000
En MN2000
El error en el método de Gauss
El error en el método de Gauss
El error en el método de Gauss I1: Resultado de calcular la integral con Gauss, m puntos.
El error en el método de Gauss I1: Resultado de calcular la integral con Gauss, m puntos.
El error en el método de Gauss I1: Resultado de calcular la integral con Gauss, m puntos. I2: Resultado de calcular las dos integrales con Gauss, m puntos.
El error en el método de Gauss Error en I2
El error en el método de Gauss Error en I2
Ejemplo Calcule con 6 cifras decimales exactas: mediante el método de Gauss de tres puntos.
Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2,17845597
Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2,17845597 Intervalo [0; 0,5]: 1,11452758 Intervalo [0,5; 1]: 1,06391784
Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2,17845597 Intervalo [0; 0,5]: 1,11452758 Intervalo [0,5; 1]: 1,06391784 Suma: I2 = 2,17844542
Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2,17845597 Intervalo [0; 0,5]: 1,11452758 Intervalo [0,5; 1]: 1,06391784 Suma: I2 = 2,17844542
Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2,17845597 Intervalo [0; 0,5]: 1,11452758 Intervalo [0,5; 1]: 1,06391784 Suma: I2 = 2,17844542 = - 0,000 000 17
Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2,17845597 Intervalo [0; 0,5]: 1,11452758 Intervalo [0,5; 1]: 1,06391784 Suma: I2 = 2,17844542 = - 0,000 000 17 R2 = - 0,000 000 29
Respuesta = 2,17844542 con 6 cifras decimales exactas.
El método de Romberg
El método de Romberg = Ih + Rh
El método de Romberg = Ih + Rh Rh Chp
El método de Romberg = Ih + Rh Rh Chp Ih: Calculando con paso h
El método de Romberg = Ih + Rh Rh Chp Ih: Calculando con paso h I2h: Calculando con paso 2h
El método de Romberg = Ih + Rh Rh Chp Ih: Calculando con paso h I2h: Calculando con paso 2h
Fórmula de Richardson = Ih + Rh
Fórmula de Richardson = Ih + Rh
Fórmula de Richardson = Ih + Rh
Fórmula de Richardson = Ih + Rh
Fórmula de Richardson = Ih + Rh Error de orden p + 2
El método de Romberg Rh Chp
El método de Romberg Rh Chp Calculando por trapecios con n pequeño
El método de Romberg Rh Chp Calculando por trapecios con n pequeño Calculando por trapecios con 2n intervalos
El método de Romberg Rh Chp Calculando por trapecios con n pequeño Calculando por trapecios con 2n intervalos Calculando por trapecios con 4n intervalos
La fórmula de Richardson Rh Chp Calculando por trapecios con n pequeño Calculando por trapecios con 2kn intervalos
La fórmula de Richardson Calculando por trapecios con 2kn intervalos
La fórmula de Richardson Calculando por trapecios con 2kn intervalos
La fórmula de Richardson p n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson p n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson p p+2 n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson p p+2 n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson p p+2 n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson p p+2 n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson p p+2 n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson p p+2 p+4 n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson p p+2 p+4 n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson p p+2 p+4 n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson p p+2 p+4 n 2n 4n 8n 16n
La fórmula de Richardson
La fórmula de Richardson p = 2
La fórmula de Richardson p = 2
La fórmula de Richardson p = 2
El método de Romberg Trap. Richardson
El método de Romberg Trap. Richardson n
El método de Romberg Trap. Richardson n 2n
El método de Romberg Trap. Richardson n 2n 4n
El método de Romberg Trap. Richardson n 2n 4n 8n
El método de Romberg Trap. Richardson n 2n 4n 8n 16n
Ejemplo Calcule con 6 cifras decimales exactas: mediante el método de Romberg
Solución
Solución Trapecios, n = 4: = 2.17455023
Solución Trapecios, n = 4: = 2.17455023 Trapecios, n = 8: = 2.17746930
Solución Trapecios, n = 4: = 2.17455023 Trapecios, n = 8: = 2.17746930 = 2.17844232
Solución Trapecios, n = 4: = 2.17455023 Trapecios, n = 8: = 2.17746930 = 2.17844232 Error:
Solución Trapecios, n = 4: = 2.17455023 Trapecios, n = 8: = 2.17746930 = 2.17844232 Error: = 0,0039
Solución Trapecios, n = 16: = 2.17820104
Solución Trapecios, n = 16: = 2.17820104 = 2.17844495
Solución Trapecios, n = 16: = 2.17820104 = 2.17844495 = 2.17844513
Solución Trapecios, n = 16: = 2.17820104 = 2.17844495 = 2.17844513 Error:
Solución Trapecios, n = 16: = 2.17820104 = 2.17844495 = 2.17844513 Error: = 0,000 002 8
Solución Trapecios, n = 32: = 2.17838410
Solución Trapecios, n = 32: = 2.17838410 = 2.17844512
Solución Trapecios, n = 32: = 2.17838410 = 2.17844512 = 2.17844513
Solución Trapecios, n = 32: = 2.17838410 = 2.17844512 = 2.17844513 = 2.17844513
Solución Trapecios, n = 32: = 2.17838410 = 2.17844512 = 2.17844513 = 2.17844513 Error:
Solución Trapecios, n = 32: = 2.17838410 = 2.17844512 = 2.17844513 = 2.17844513 Error: = 0,000 000 01
Algoritmo Se quiere calcular: Por el método de Romberg con error menor que
Algoritmo Se quiere calcular: Por el método de Romberg con error menor que Datos: f(x), a, b, n, ,
Algoritmo Se quiere calcular: Por el método de Romberg con error menor que Datos: f(x), a, b, n, , Trapecios como algoritmo auxiliar
Algoritmo
Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n)
Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0
Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat
Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat n := 2n
Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat n := 2n k := k + 1
Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat n := 2n k := k + 1 := Trapecios(f(x), a, b, n)
Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat n := 2n k := k + 1 := Trapecios(f(x), a, b, n) for m = 1 to k
Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat n := 2n k := k + 1 := Trapecios(f(x), a, b, n) for m = 1 to k
Algoritmo for m = 1 to k
Algoritmo for m = 1 to k
Algoritmo for m = 1 to k end
Algoritmo for m = 1 to k end Error :=
Algoritmo for m = 1 to k end Error := until Error <
Algoritmo for m = 1 to k end Error := until Error < El resultado es Terminar
En MN2000
En MN2000
En MN2000
En MN2000
En MN2000
Comparación = 2,17844513
Comparación = 2,17844513 n Trapecios Simpson Romberg 4 8 16 32
Comparación = 2,17844513 n Trapecios Simpson Romberg 4 8 16 32 2,17455023 8 2,17746930 16 2,17820104 32 2,17838410
Comparación = 2,17844513 n Trapecios Simpson Romberg 4 8 16 32 2,17455023 2,17840461 8 2,17746930 2,17844232 16 2,17820104 2,17844495 32 2,17838410 2,17844512
Comparación = 2,17844513 n Trapecios Simpson Romberg 4 8 16 32 2,17455023 2,17840461 2,17455023 8 2,17746930 2,17844232 2,17844232 16 2,17820104 2,17844495 2,17844513 32 2,17838410 2,17844512 2,17844513
Comparación = 2,17844513 n Trapecios Simpson Romberg 4 8 16 32 2,17455023 2,17840461 2,17455023 8 2,17746930 2,17844232 2,17844232 16 2,17820104 2,17844495 2,17844513 32 2,17838410 2,17844512 2,17844513 Gauss, 6 puntos: 2,17844513
Bibliografía Texto: Secciones: 5.4 y 5.5
Ejercicios recomendados Sección 5.4: 1, 2, 3, 4 Sección 5.5: 1, 2, 3, 8