POLINOMIOS U. D. 3 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

IDENTIDADES NOTABLES U. D. 3.3 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

IDENTIDADES NOTABLES ( x + y )2 = x2 + 2.x.y + y2 Una identidad es una igualdad que siempre se cumple, sea cual sea el valor de la variable o variables. Las más importantes son: ( x + y )2 = x2 + 2.x.y + y2 ( x - y )2 = x2 - 2.x.y + y2 ( x + y ) . ( x – y ) = x2 – y2 ( x + y )3 = x3+ 2.x2.y + 2.x.y2 + y3 ( x - y )3 = x3 - 2.x2.y + 2.x.y2 - y3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

IDENTIDADES NOTABLES En caso necesario, deducimos las expresiones: DEDUCCIÓN ( x + y )2 = (x + y).(x + y) = x2 + x.y + y.x + y2 = x2 +2.x.y + y2 ( x – y )2 = ( x – y ).( x – y ) = x2 – x.y – y.x + y2 = x2 – 2.x.y + y2 ( x + y ).( x – y ) = x2 – x.y + y.x + y2 = x2 – y2 ( x + y )3 = (x + y).(x + y)2 = (x + y)·(x2 + 2.x.y + y2 ) = = x3 + 2.x2.y + x.y2 + y.x2 + 2.x.y2 + y3 = x3 + 3.x2.y + 3.x.y2 + y3 ( x – y )3 = (x – y).(x – y)2 = (x – y)·(x2 – 2.x.y + y2 ) = = x3 – 2.x2.y + x.y2 – y.x2 + 2.x.y2 – y3 = x3 – 3.x2.y + 3.x.y2 – y3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos ( x + 5 )2 = x2 + 10.x + 25 ( 2x - y )2 = 4.x2 – 4.x.y + y2 ( 3 + y ) . ( 3 – y ) = 9 – y2 ( x + 4 )3 = x3 + 12.x2 + 48.x + 64 ( 5 - 2y )3 = 125 – 150.y + 60.y2 – 8.y3 ( 3x + √5 )2 = 9.x2 + 6.√5.x + 5 ( x/2 – 2/x )2 = x2 / 4 – 2 + 4 / x2 ( √3 + y ) . ( y – √3 ) = y2 – 3  El orden lo impone el factor resta @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos ( - x + 5 )3 = 125 – 75.x + 15.x2 – x3 ( - 2a - b )2 = 4.a2 + 4.a.b + b2 ( - 3 + a/2 ) . ( - 3 – a/2 ) = 9 – a2 / 4 ( 1/x – 5)3 = 1 / x3 – 15 / x2 + 75 / x – 125 ( 5 – x + y )2 = ((5 – x) + y)2 = 25 – 10.x + x2 + 2.(x – 5).y + y2 = = 25 – 10.x + x2 + 2.x.y – 10.y + y2 ( 3 + x – √5 )2 = ((3 + x) – √5)2 = 9 + 6.x + x2 – 2 .(3 + x).√5 + 5 = = 9 + 6.x + x2 – 6.√5 – 2.√5.x + 5 = x2 + (6 – 2.√5).x + (14 – 6.√5) ( √3 + √5 ) . (√5 – √3 ) = 5 – 3 = 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROCESO INVERSO A veces nos dan un producto notable desarrollado y conviene pasarlo a su forma original. Para ello debemos detectar que dos de los tres términos del trinomio son los cuadrados de los sumandos originales. El tercer término será el doble producto de los sumandos originales. El signo original lo determinará el doble producto. Ejemplo 1 x 2 + 4.x + 4 = (x + 2) 2 Hemos detectado los dos cuadrados, con lo que tenemos los dos sumandos del binomio. Además 4.x = 2.(x.2) . Y el signo el mismo que el de 4.x Ejemplo 2 4.x 2 + 4 – 8.x = (2.x – 2) 2 Hemos detectado los dos cuadrados, con lo que tenemos los dos sumandos del binomio. Además 8.x = 2.(2.x.2). Y será una resta según el signo de 8.x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROCESO INVERSO Ejemplo 3 9.x2 + 25 – 10.x = (3.x – 5) 2 Hemos detectado los dos cuadrados, con lo que tenemos los dos sumandos del binomio. El signo será negativo, el de 10.x Pero 10.x no es el doble del producto: 10.x <> 2.(3.x.5)  10.x <> 30.x Luego el trinomio dado NO es un producto notable. Ejemplo 4 – 4.x2 + 5 = ( 5 – 4x2 ) = (√5 + 2.x ). (√5 – 2.x ) Al decirnos que es un producto notable, pero sólo haber dos términos, debe ser una diferencia de cuadrados. Cambiamos el orden para ver mejor la diferencia. El 5 no es un cuadrado perfecto, pero debe ser el cuadrado de “algo”. Y ese número es raíz de 5, pues su cuadrado es 5. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos x2 - 8.x + 16 = ( x – 4 )2 25 + 10.a + a2 = ( 5 + a )2 5 – a2.b4 = (√5 + a.b2) . (√5 – a.b2 ) 32.x + x2 + 16 = ( x + 4)2 + 24.x – 25 – y2 + 10.x = – ( 5 – y )2 – 3 – 2.√3.x – x2 = – ( x + √3 )2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.