ECUACIONES DIFERENCIALES

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Transcripción de la presentación:

ECUACIONES DIFERENCIALES ALGUNOS METODOS DE RESOLUCION: SEPARACION DE VARIABLES Y DIFERENCIAL EXACTA

Definición: Expresiones donde la/s funciones desconocidas se encuentran bajo el signo de derivada o de diferencial. Una ecuación diferencial ordinaria es una relación funcional del tipo: (1) Donde , (incógnita)

La forma general de la ecuación diferencial es: (2) Incógnita Definida para , con Funciones (conocidas) Ecuación normalizada: (3)

Supongamos una ecuación diferencial de 1° orden: Solución: Para cada valor de C habrá una solución distinta, sin embargo pueden establecerse ciertas condiciones iniciales para obtener un particular valor de C :

Variables separables Solución especial: si para algún valor de Supongamos que se puede escribir como el producto de 2 funciones: Solución especial: si para algún valor de será una solución, porque anula ambos miembros de la ec.

Método para resolver ecuaciones diferenciables de variables separables Solución: Dada:

Ejemplo 1: Consideramos un modelo donde: producto nacional stock de capital cantidad de empleados de un país en el instante , con (constantes positivas), con y

Ejemplo 2: Suponemos la ecuación diferencial de variables separables siguiente: Hallar la curva que pasa por Solución: y = 1/(x^2 - 2) solucion = (Resultado MatLab)

Ecuación diferencial exacta Dada su diferencial total es: Si , entonces: Se puede expresar: (4)

Método de resolución de ecuaciones diferenciales exactas Dada: Comprobar: Hallar una función , suponemos que , entonces Derivar con respecto a : (5)

Método de resolución de ecuaciones diferenciales exactas Obtener : Integrar con respecto a : Reemplazar en (5) para obtener la solución:

Ejemplo 3: El cambio en el precio según el cambio en la cantidad demandada de un bien , está dada por: Se desea determinar la relación entre el precio y la cantidad demandada si cuando

Resultado MatLab (ejemplo 3): y = 624/(x^2 + 16) - 12 solucion =

Bibliografía BERNARDELLO, A.; BIANCO, M. J.; CASPARRI, M. T.; GARCIA FRONTI, J.; OLIVERA, S. “ Matemática para Economistas con Excel y MatLab” CHIANG, A. “Métodos Fundamentales de Economía Matemática”. 4° ed. ESCOBAR, J. “Ecuaciones Diferenciables con aplicaciones”. Univ. de Antioquía SYDSAETER, K.; HAMMOND, P. “Matemáticas para el Análisis Económico”