Apuntes de Matemáticas 3º ESO Polinomios U.D. 4 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PRODUCTO DE POLINOMIOS U.D. 4.3 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PRODUCTO DE POLINOMIOS PRODUCTO DE MONOMIOS El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x3 y 5.x2 (4.x3 ). (5.x2 ) = 4.5. x3+2 = 20.x5 Sea 7.x3 y 5.a.x3 (7.x3 ). (5.a.x3 ) = 7.5.a. x3+3 = 35.a.x6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PRODUCTO DE POLINOMIOS PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x4 + 4.x3 - 2.x ) = = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).( - 2.x ) = = 20.x7 + 16.x6 - 8.x4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO OTRO EJEMPLO Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 ) = = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) = = 20.x3.y2 + 16.x2.y3 - 8. x2.y2 + 12.x.y UN EJEMPLO MÁS Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x2 + 4.a2.x (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x2 + 4.a2.x) = = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x3 + 16.a2.x2 Nota: Como la x es la variable, a forma parte del coeficiente. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Aclaración previa al producto Los que tengan dificultad en multiplicar polinomios pueden hacerlo por columnas de términos semejantes: P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x Q(x) = 3.x3 + 5.x 25.x5 + 20.x4 – 10. x2 15.x7 + 12.x6 – 6. x4 15.x7 + 12.x6 + 25.x5 + 14.x4 - 10.x2 Sin embargo, es más práctico y rápido hacerlo linealmente: P(x).Q(x) = (5.x4 + 4.x3 - 2.x).(3.x3 + 5.x) = (25.x5 + 20.x4 – 10. x2 ) + + (15.x7 + 12.x6 – 6. x4) = 15.x7 + 12.x6 + 25.x5 + 20.x4 - 6.x4 – 10.x2 = = 15.x7 + 12.x6 + 25.x5 + 14.x4 - 10.x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PRODUCTO DE POLINOMIOS El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 4.x + 3 y Q(x) = 5.x2 + 4.x – 2 P(x).Q(x) = ( 4.x + 3 ).( 5.x2 + 4.x – 2 ) = = ( 4.x ). (5.x2 + 4.x – 2 ) + (3). ( 5.x2 + 4.x – 2 ) = = (20.x3 + 16.x2 – 8.x) + ( 15.x2 + 12.x – 6 ) = = 20.x3 + 16.x2 – 8.x + 15.x2 + 12.x – 6 = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PRODUCTO DE POLINOMIOS EJEMPLO 2 Sea P(x) = a.x + 3 y Q(x) = x2 + 4.x – b P(x).Q(x) = ( a.x + 3 ).( x2 + 4.x – b ) = = ( a.x ). (x2 + 4.x – b ) + (3). ( x2 + 4.x – b ) = = (a.x3 + 4.a.x2 – a.b.x) + ( 3.x2 + 12.x – 3b ) = = a.x3 + 4.a.x2 – a.b.x + 3.x2 + 12.x – 3.b = = a.x3 + (4.a + 3).x2 + (12 – a.b).x – 3.b Nota: En este ejemplo “a” y “b” no son variables, puesto que la x es la única variable que hay. Son coeficientes, aunque no sabemos su valor. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PRODUCTO DE POLINOMIOS Nota al PRODUCTO DE POLINOMIOS El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. Veamos algunos ejemplos: (4.x).(5.x2 + 4.x )  1.2 = 2 términos (4.x - 2).(5.x2 + 4.x )  2.2 = 4 términos (5.x2 + 4.x ).(x2 + 4.x - 3)  2.3 = 6 términos (5.x2 + 4.x + 7).(x2 + 4.x - 3)  3.3 = 9 términos (x2 + 4.x ).(x3 + x2 + x - 3)  2.4 = 8 términos (x2 + 4.x - 5).(x3 + x2 + x - 3)  3.4 = 12 términos Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FACTOR COMÚN En numerosas ocasiones nos interesa el proceso inverso de multiplicar monomios y polinomios, es decir nos interesa SACAR FACTOR COMÚN para que la expresión polinómica quede como un producto de polinomios. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 5.x2 + 4.x Factor común: x  P(x) = x.(5.x + 4) EJEMPLO 2 Sea P(x) = 4.x2 – 12.x Factor común: 4.x  P(x) = 4.x.(x – 3) EJEMPLO 3 Sea P(x) = 3.x2 – 7.x Factor común: 3.x  P(x) = 3.x.(x – 7/3) El 7 no es divisible entre 3, pero lo que parecía imposible no lo es utilizando números fraccionarios. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FACTOR COMÚN EJEMPLO 4 Sea P(x) = 5.a3 + m.a2 – a Factor común: a  P(x) = a.(5.a2 + m.a – 1) Al extraer la “a” de “– a”, queda “– 1”. No desaparece el término. EJEMPLO 5 Sea P(x) = x4 – x3 + x2 – x Factor común: x  P(x) = x.(x3 – x2 + x – 1) Pero veamos tomando dos a dos: P(x) = (x4 + x2) – (x3 + x) Factor común: x2 y x  P(x) = x2.(x2 + 1) – x.(x2 + 1) He obtenido otro factor común: (x2 + 1) Con lo cual: P(x) = (x2 + 1).(x2 – x) Y aún puedo sacar otro factor común, x, quedando: P(x) = (x2 + 1).x.(x – 1) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FACTOR COMÚN EJEMPLO 6 Sea P(x) = 8.x3 + 6.x2 + 4.x + 3 Advertencia de error: Sacar factor común a los tres primeros términos no es nada útil. Quedaría: P(x) = x.(8.x2 + 6.x + 4) + 3 Veamos tomando dos a dos: P(x) = (8.x3 + 4.x) + (6.x2 + 3) Factor común: 4.x y 3  P(x) = 4.x.(2.x2 + 1) + 3.(2.x2 + 1) He obtenido otro factor común: (2.x2 + 1) Con lo cual: P(x) = (2.x2 + 1).(4.x + 3) Y, si me interesa, aún puedo sacar otro factor común, el 4, quedando: P(x) = (2.x2 + 1).4.(x + 3/4) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO