@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 4 * 3º ESO E.AC. Polinomios.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 4 * 3º ESO E.AC. Polinomios

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 U.D. 4.2 * 3º ESO E.AC. SUMA DE POLINOMIOS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios no semejantes. Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. EJEMPLOS P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x P(x) = 3.x 3 - 7.x + 5 P(x) = x 3 + 7.x 2 - 5.x - 3 Polinomios

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Es el mayor grado de los monomios que lo forman. EJEMPLOS P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x  Grado de P(x) = 3 Q(x) = - 7.x + 5  Grado de Q(x) = 1 R(x, y) = x 3. y + 7.y 2 - 5.x.y  Grado de R(x, y) = 3 respecto x  Grado de R(x, y) = 2 respecto y  Grado de R(x, y) = 4 Grado de polinomios

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 REDUCIDOS Tiene sumados los términos semejantes NO REDUCIDOS Contiene dos o más términos semejantes. COMPLETOS Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero. INCOMPLETOS Falta algún término de grado menor que el del polinomio. ORDENADOS Sus términos están ordenados por el grado de la variable. Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él. NO ORDENADOS Sus términos están desordenados según el grado de los mismos. Tipos de Polinomios

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 REDUCIDOS P(x) = 7.x 3 + 31.x 2 – 6 Q(x) = 2.x 3 + 3.x 2 NO REDUCIDOS P(x) = 2.x 3 + 7.x - 31.x 2 + 4.x – 6 Q(x) = x 3 + 5.x – 4.x 2 + 7.x COMPLETOS P(x) = x 3 + 3.x 2 + 4.x – 6 Q(x) = 5.x 2 + 3.x + x 3 – 6 INCOMPLETOS P(x) = 3.x 3 + 4.x – 6  Falta término en x 2 Q(x) = 5.x 3 + 7.x  Falta el término independiente ORDENADOS P(x) = x 3 - 3.x 2 – 6  Ordenado de forma decreciente. Q(x) = 5 – 3.x + x 3  Ordenado de forma creciente. NO ORDENADOS P(x) = 7.x - 3.x 3 + 6.x 2 – 6 Q(x) = – 2.x 2 + 6.x 4 – 10

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Es el número que se obtiene al sustituir las variables por un número y realizar las operaciones indicadas. EJEMPLOS P(x) = 7.x 3 + 31.x 2 – 6 Para x = 1  P(1) = 7 + 31 – 6 = 32 Q(x) = 2.x 3 + 3.x 2 Para x = 2  P(2) = 2.8 + 3.4 = 16 + 12 = 28 S(x) = 5.x 2 + 3.x + x 3 – 6 Para x = – 1  P(-1) = 5.1 + 3.(-1) + (-1) – 6 = – 5 U(x) = 5.x 3 + 7.x Para x = 3  P(3) = 5.27 + 7.3 = 135 + 21 = 156 V(x) = 5 – 3.x + x 3 Para x= – ½  P(– ½) = 5 – 3.(– ½) + (– ½) 3 = 5 – 3/2 – 1/8 = 27 / 8 Valor numérico de un polinomio

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Aclaración previa a la suma Los que tengan dificultad en sumar o multiplicar polinomios pueden hacerlo por columnas de términos semejantes: P(x) = 5.x 4 + 4.x 3 - 2.x Q(x) = 3.x 3 + 5.x - 3 P(x) + Q(x) = 5.x 4 + 7.x 3 + 3.x – 3 Pero es recomendable hacerlo así: (5.x 4 + 4.x 3 - 2.x) + (3.x 3 + 5.x - 3) = = 5.x 4 + 4.x 3 - 2.x + 3.x 3 + 5.x - 3 = = 5.x 4 + 7.x 3 + 3.x – 3

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 SUMA DE POLINOMIOS La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x y Q(x) = 7.x 3 + 5.x 2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x ) + (7.x 3 + 5.x 2 – 3 ) = = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x + 7.x 3 + 5.x 2 - 3 = = 11.x 3 + 12.x 2 - 5.x - 3 SUMA DE POLINOMIOS

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 EJEMPLO 2 Sea P(x) = 7.x 2 - 5.x y Q(x) = x 3 + 5 P(x) + 2.Q(x) = ( 7.x 2 - 5.x ) + 2.(x 3 + 5) = 7.x 2 - 5.x + 2.x 3 + 10 = = 2.x 3 + 7.x 2 - 5.x + 10 EJEMPLO 3 Sea P(x) = 3.x 2 - 5.x + 7 y Q(x) = x 2 + 3.x – 4 3.P(x) + 4.Q(x) = 3.( 3.x 2 - 5.x + 7 ) + 4.(x 2 + 3.x – 4 ) = = 9.x 2 - 15.x + 21 + 4.x 2 + 12.x – 16 = 13.x 2 - 3.x + 5 SUMA DE POLINOMIOS

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 DIFERENCIA DE POLINOMIOS Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x y Q(x) = 7.x 3 + 5.x 2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x ) - (7.x 3 + 5.x 2 – 3 ) = = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x - 7.x 3 - 5.x 2 + 3 = = - 3.x 3 + 2.x 2 - 5.x + 3 DIFERENCIA DE POLINOMIOS

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 EJEMPLO 2 Sea P(x) = 7.x 2 - 5.x y Q(x) = 5.x 2 - 3 P(x) – 5.Q(x) = (7.x 2 - 5.x ) – 5.(5.x 2 – 3 ) = = 7.x 2 - 5.x - 25.x 2 + 15 = – 18.x 2 - 5.x + 15 EJEMPLO 3 Sea P(x) = x 2 + 7.x – 3 y Q(x) = 7.x 2 + 5.x – 7 3.P(x) – 4.Q(x) = 3.( x 2 + 7.x – 3) – 4.(7.x 2 + 5.x – 7) = = 3.x 2 + 21.x – 9 – 28.x 2 + 3 – 20.x + 28 = – 25.x 2 + x + 19 DIFERENCIA DE POLINOMIOS