Unidad 6. Capítulo V. Solución en series de potencias alrededor de un punto ordinario.

Si x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial: U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Previo a resolver una ecuación diferencial en la vecindad de un punto específico, se requiere saber si existe solución y si es única. El teorema aborda estos requerimientos. Si x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial: entonces esta ecuación diferencial tiene dos soluciones linealmente independientes, y1 y y2, cada una de la forma: La solución general de esta ecuación diferencial es:

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. donde a0 y a1 son constantes cuyo valor se obtiene de las condiciones iniciales. Los demás coeficientes se obtienen de la relación de recurrencia y el radio de convergencia de la serie es al menos tan grande como la distancia entre x0 y el punto singular real o complejo más cercano. La prueba de este teorema puede encontrarse en textos mas avanzados sobre ecuaciones diferenciales. El procedimiento de resolución y el uso de este teorema se ilustra aquí mediante la resolución de algunos ejemplos.

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Ejemplo: Una ecuación diferencial que se presenta en la mecánica cuántica, en el estudio de la ecuación de onda de Schrödinger para un oscilador armónico, es la ecuación de Hermite: donde l es una constante. Encuentre una solución en serie de potencias de x para esta ecuación (es decir, x0 = 0). Solución: la ecuación ya está en la forma estándar, por lo que P(x) = 2x y Q(x) = 2l, es decir, polinomios. Recordando que los polinomios son analíticos en todo el eje x, cualquier punto es ordinario, incluyendo x0 = 0.

Se supone una solución por serie de potencias de la forma: U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Así, se concluye que esta ecuación tiene una solución en serie de potencias alrededor de cualquier punto y su radio de convergencia alrededor de cualquier punto es infinito; por lo que converge para todos los valores de x. Se supone una solución por serie de potencias de la forma: Derivando dos veces y sustituyendo las derivadas en la ecuación diferencial se tiene:

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Al desplazar en 2 el índice de la primera suma, sustituir k por k + 2 e introduciendo x en el 2° término se tiene: así las tres series incluyen la misma potencia de x. Pero aún no pueden combinarse, ya que el índice de la segunda suma comienza con k = 1 en lugar de 0; problema que se resuelve al comenzar la segunda suma con k = 0, porque el término correspondiente será cero debido al factor k en la suma. Entonces,

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Todas las x satisfacen esta ecuación si y sólo si el coeficiente de cada potencia de x es cero, condición que resulta en la relación de recurrencia para determinar los coeficientes de expansión ak. o bien: Con esta relación se pueden determinar los coeficientes a2, a3, a4, a5, ... en términos de a0 y a1, siendo algunos de ellos los siguientes:

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios.

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Sustituyendo los coeficientes en la solución y extrayendo a0 y a1 como factores comunes se obtiene: es decir: Generalizando los coeficientes para los términos pares e impares, las dos soluciones independientes y1 y y2 también pueden expresarse en la forma:

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. cada corchete es una solución linealmente independiente de la ecuación de Hermite. Observe que, como la ecuación no tiene puntos singulares, esta solución es válida para cualquier valor de x. Cuando l es entera positiva, los términos en la primera o la segunda serie se cancelan para k > l, obteniéndose un polinomio de grado k en lugar de esa serie infinita.

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Un múltiplo constante del polinomio resultante de grado k (que es una solución de la ecuación de Hermite) se conoce como polinomio de Hermite, y se simboliza por Hk(x). El múltiplo se elige de tal manera que el coeficiente de xk sea 2k. Los cuatro primeros polinomios de Hermite son:

Suponiendo una solución en serie de potencias de la forma: U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Ejemplo: Una ecuación diferencial que se presenta en óptica en el estudio de la intensidad de la luz es la ecuación de Airy: Encuentre una solución en serie de potencias de x para esta ecuación (es decir, alrededor del punto x0 = 0). Solución: la ecuación ya está en la forma estándar, por lo que P(x) = 0 y Q(x) = x, es decir, polinomios, que son analíticos en todo el eje x, cualquier punto es ordinario, incluyendo x0 = 0. Suponiendo una solución en serie de potencias de la forma:

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Derivando dos veces y sustituyendo las derivadas en la ecuación diferencial se tiene: o Al desplazar el índice de la 1ª suma y sustituir k por k + 2 y el de la segunda suma en 1, reemplazando k  1: o

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Esta ecuación es cierta para cualquier valor de x si y sólo si los coeficientes de cada potencia de x, incluyendo la potencia cero, son cero; requisito que resulta en a2 = 0 y la relación de recurrencia es: De la relación se obtiene que a5 = a8 = a11 =  = 0, por lo que los primeros coeficientes son:

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Sustituyendo los coeficientes en la solución y extrayendo a0 y a1 como factores comunes se obtiene: O, en forma más general,

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Ésta es la solución general de la ecuación de Airy, en la que las dos funciones y1(x) y y2(x) son sus dos soluciones linealmente independientes. Observe que esta solución vale para cualquier valor de x, ya que la ecuación de Airy no tiene puntos singulares.

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Ejemplo: La búsqueda de un polinomio que se desvíe al mínimo de cero en el intervalo 1 ≤ x ≤ 1, lo que resulta de gran importancia en el análisis numérico, condujo al estudio de la ecuación de Chebyshev, que es: donde l es una constante. Encuentre la solución por serie de potencias de la ecuación alrededor del origen, x0 = 0. Solución: Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes variables que puede expresarse en su forma estándar dividiendo cada término entre 1  x2:

Ahora se supone una solución de serie de potencias de la forma: U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. entonces: por lo que los denominadores de P(x) y Q(x) son cero en x = 1, así los puntos x = 1 y x = 1 son singulares; de manera que una solución en serie obtenida alrededor del punto x0 = 0 convergirá en el intervalo 1 ≤ x ≤ 1. Ahora se supone una solución de serie de potencias de la forma:

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Derivando dos veces y sustituyendo las derivadas en la ecuación diferencial se tiene: o Al desplazar el índice de la 1ª suma y sustituir k por k + 2 e iniciando las sumas en 0 en lugar de 1 o 2 (no afecta): o

de esta relación se obtienen los demás coeficientes en la forma: U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Ecuación que se cumple para toda x si y sólo todos los coeficientes son cero, condición que produce la relación de recurrencia para los coeficientes de expansión ak: de esta relación se obtienen los demás coeficientes en la forma:

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios.

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Sustituyendo los coeficientes en la solución y extrayendo a0 y a1 como factores comunes se obtiene: Generalizando los coeficientes para los términos pares e impares, la solución de la ecuación de Chebyshev puede expresarse en la forma siguiente:

U-5. Cap. V. Solución en series: puntos ordinarios. Note que la solución de la ecuación de Chebyshev vale para cualquier valor de x en el intervalo 1 ≤ x ≤ 1. Si l es entero positivo, y1(x) o y2(x) es un polinomio de grado k, que cuando se multiplica por una constante, se llama polinomios de Chebyshev, y se simbolizan Tn(x).