Tema 6: Aproximación Índice Introducción. Aproximación discreta. Aproximación discreta mínimo-cuadrática. Caso lineal. Aproximación polinomial: recta de regresión, aprox. Cuadrática. Inconvenientes. Aproximación discreta mínimo-cuadrática. Casos no lineales.

Ejemplo Estimar, a partir de los datos de la siguiente tabla, los valores de la función en puntos no tabulados: xi yi 1 1.3 2 3.5 3 4.2 4 5.0 5 7.0 6 8.8 7 10.1 8 12.5 9 13.0 10 15.6

INTERPOLACION APROXIMACIÓN

Introducción Sean f1(x) y f2(x) funciones conocidas y f*(x) la función de aproximación: Lineal : No lineal : Ejemplos en pizarra de aprox. Continua y discreta.

Aproximación discreta ¿Cómo se determina la mejor aproximación f *(x), (coef. ci)? Hay que considerar los errores (desviaciones) : rk = yk - f *(xk)   (k = 1,...,N) Hay varias normas (formas de medir estos errores) para medir la distancia entre la curva y = f* (x) y los datos. Las más utilizadas son:

Ejemplo C1= -0.36 , C2=1.53818

Aproximación discreta minimo-cuadrática. Caso lineal (1). Sistema sobredeterminado. La solución óptima c por mínimos cuadrados es la que minimiza el error cuadrático E2=||b - A c ||2. Esta es la que se obtiene con la barra invertida en Matlab A\b , o con el comando LinearSolve en Mathematica para el caso de que haya menos ecuac. Que incognitas. Para obtener c, hallaremos los extremos relativos de E2 o bien aplicando la teoría de espacios vectoriales ( el vector y- A c tiene que ser ortogonal al subespacio generado por las columnas de A : AT(b – Ac)= 0, ATAc = ATb, Que es el sistema de ecuaciones normales.

Aproximación discreta mínimo-cuadrática. Caso lineal (2).

Aproximación discreta mínimo-cuadrática Caso lineal (3). Matricialmente

Aplicando la teoría de espacios vectoriales A c es un vector del espacio generado por las columnas de A (dimensión m ). Habitualmente N > m por lo que, no incluye al vector b de dimensión N. En lugar de una solución exacta se busca el vector A c (del espacio generado por las columnas de A) más cercano a b (en la norma euclídea); para ello este vector A c deberá coincidir con la proyección ortogonal de b en el espacio columna de A (el plano). El vector residuo r = b  A c será perpendicular al espacio generado por las columna de A.

Aproximación polinomial f*(x) = c1+c2x : Recta de regresión. f*(x) = c1+c2x+c3x2 : Aprox. Cuadrática. Inconvenientes: At.A es una matriz mal condicionada Para valores pequeños de m eliminación gaussiana, si no, mdos. Especiales. - Aumentar m  rehacer cálculos Se puede ir aumentando n mientras se obtenga una disminución significativa de sigma cuadrado.

Aproximación discreta mínimo-cuadrática Aproximación discreta mínimo-cuadrática. Casos no lineales, linealizando los datos.

Ejemplo xi 1 2 3 4 yi 1.5 2.5 3.5 5.0 7.5 Ajustar los datos de la siguiente tabla a una función de la forma y = C eAx Linealizando los datos El pol de grado 1 que se ajusta a los datos linealizados P1(x) = 0.457367 +0.391202 x Finalmente se deshace el cambio de variable: f*(x) = 1.57991 Exp[0.391202x] xi Ln(yi) 0.405465 1 0.916291 2 1.25276 3 1.60944 4 2.0149

Aproximación discreta mínimo-cuadrática. Casos no lineales.

Comparación del error cuadrático medio en cada caso