ECUACIONES DIFERENCIALES Y ÁLGEBRA LINEAL Unidad 3 EDOL DE ORDEN SUPERIOR Sesión 5.2 EDOL homogénea de orden superior con coeficientes constantes. Principio de superposición.
Logro de la sesión: Al finalizar la sesión el estudiante reconoce las EDOLH de orden superior con coeficientes constantes y explica el principio de superposición.
EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR Como ya se sabe, una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛 es lineal, si se puede escribir de la forma: 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 (𝑛) + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 (𝑛−1) +…+ 𝑎 0 𝑥 𝑦=𝑔(𝑥) donde: 𝑎 𝑘 𝑥 ;𝑘=0,…,𝑛; 𝑎 𝑛 𝑥 ≠0 son funciones de 𝑥 Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no-lineal.
EDOL HOMOGÉNEA Y NO HOMOGÉNEA 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 (𝑛) + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 (𝑛−1) +…+ 𝑎 0 𝑥 𝑦=𝑔(𝑥) Coeficientes constantes Si las 𝒂 𝒊 𝒙 son constantes ∀𝒊= 𝟎,𝒏 y 𝒈 𝒙 =𝟎, la EDOL es homogénea con coeficientes constantes. Si 𝒈 𝒙 ≠𝟎 , la EDOL será no homogénea.
EJEMPLO. 𝑥 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑦= 𝑥 3 Lineal Orden 2 No homogénea 𝑥 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑦= 𝑥 3 Lineal Orden 2 No homogénea Coeficientes variables
EJEMPLO. 𝑑 3 𝑢 𝑑𝑡 3 −5 𝑑 2 𝑢 𝑑 𝑡 2 =0 Lineal Orden 3 Homogénea 𝑑 3 𝑢 𝑑𝑡 3 −5 𝑑 2 𝑢 𝑑 𝑡 2 =0 Lineal Orden 3 Homogénea Coeficientes constantes
EJEMPLO. 𝑦 ′′′ − 𝑦 ′ = 𝑥 2 +𝑠𝑒𝑛𝑥 Lineal Orden 3 No homogénea Coeficientes constantes
EJEMPLO. 𝑦𝑦 ′′ +𝑥 𝑦 ′ +𝑦= 𝑥 2 +1 No Lineal Orden 2
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN ECUACIONES HOMOGÉNEAS Si 𝑦 1 ; 𝑦 2 ;…; 𝑦 𝑘 son soluciones de una EDOL homogénea, entonces 𝑦= 𝑐 1 𝑦 1 + 𝑐 2 𝑦 2 +…+ 𝑐 𝑘 𝑦 𝑘 es también una solución de la EDOL. Es decir, la C.L. de 𝑘 soluciones de una EDOL también es solución.
SOLUCIÓN GENERAL DE UNA EDOLH Si 𝑦 1 ; 𝑦 2 ;…; 𝑦 𝑛 es un conjunto L.I. de soluciones de una EDOL homogénea de orden n en un intervalo I, entonces la solución general de la EDOL en dicho intervalo es: 𝑦= 𝑐 1 𝑦 1 + 𝑐 2 𝑦 2 +…+ 𝑐 𝑛 𝑦 𝑛
EJEMPLO. 𝑥 3 𝑦 ′′′ −2𝑥 𝑦 ′ +4𝑦=0 𝑦= 𝑐 1 𝑥 2 + 𝑐 2 𝑥 2 ln 𝑥 Las funciones 𝑦 1 = 𝑥 2 y 𝑦 2 = 𝑥 2 ln 𝑥 son soluciones de la EDOL homogénea 𝑥 3 𝑦 ′′′ −2𝑥 𝑦 ′ +4𝑦=0 Entonces, por el principio de superposición 𝑦= 𝑐 1 𝑥 2 + 𝑐 2 𝑥 2 ln 𝑥 es también una solución de la EDOL.