La integral definida VBV

Derivada  Recta tangente Integral  Área Entendemos: Área de una función f : región comprendida entre la función y el eje X, entre dos líneas verticales.

Pensemos en como obtener el área bajo la función f f(x) Sabemos calcular el área de polígonos…

Nosotros construiremos rectángulos!!! Podríamos … f(x) x x0 x1 x2 x3 x4 Nosotros construiremos rectángulos!!!

Ejemplo: Se muestra al grafica de f . Usando fórmulas geométricas. Evaluar y calcular el área representada por la integral.

En realidad… Este es un problema muy antiguo (Arquimedes se plantea esto, pero son Newton y Leibniz los que lo resuelven) . Idea: Construir rectangulos “bajo” la curva f(x), encontrar el área de todos estos rectangulos.

Sea [a,b] un intervalo cerrado. Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que: x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de [a,b]

Denotemos por Δxi la longitud de cada sub-intervalo tal que: Δx1 = x1 – x0 Δx2 = x2 – x1 … Δxi = xi – xi-1 Δxn-1 = xn-1 – xn-2 Δxn = xn – xn-1 Notar que Δxi corresponderá a la base de cada rectángulo.

Definición: La longitud del sub-intervalo (o sub- intervalos) más largo de la partición P se llama norma de la partición y se denota ||P||. Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}

Ejemplo: Considerar el intervalo [1,3] y construir una partición donde n=4.

Pensar en una partición para [a,b] Geométrica: a, ar, ar2,… arm, donde r0 Aritmética: a, a+d, a+2d, … a+md

PARTICIÓN GEOMÉTRICA Se define r como la raíz n-ésima del cuociente: b/a Se tiene: xi= x0*rn Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi NO es constante .

PARTICIÓN ARITMÉTICA Se define d=(b-a)/n Se tiene: xi= x0+id Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d. Por esto, denotamos Δx=d.

Ejercicios: Construir en el intervalo [0,1] , las siguientes particiones y calcular su norma: 10 sub-intervalos usando la partición: xi= (i/n)2 8 sub-intervalos del mismo largo.

Pensemos en la altura de cada rectángulo… Sea f : [a,b]   una función acotada P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b] Para i = 1, . . . ,n denotamos: mi = inf { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } Mi = sup { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el conjunto { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } es no vacío y acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.

Definición: SUMA INFERIOR de f asociada a P x1 x2 … a=x0 xn-1 b=xn

Definición: SUMA SUPERIOR de f asociada a P x1 x2 … a=x0 xn-1 b=xn

Ejemplo: Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2 Usando una partición con n=4.

Ejercicio: Sea Encuentre s(f,P) para una partición del intervalo [0,2] en dos partes iguales. Certamen 1 – II sem 2012

Proposición: Para cada partición, se verifica: s(f,P) ≤ S(f,P) Dem: mi ≤ Mi  mi Δxi ≤ Mi Δxi   mi Δxi ≤  Mi Δxi  s(f,P) ≤ S(f,P)

Proposición: P1 P2  s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1) Dem: Pensar en agregar puntos (de a uno a la partición P1).

Corolario: Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de [a,b]. Entonces: m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a) Además, si P= P1  P2 , entonces: s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)

Definición: INTEGRAL INFERIOR de f en [a,b]

Definición: INTEGRAL SUPERIOR de f en [a,b]

OBS:

DEF: f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si: Se escribe:

Pensar… ¿Qué debe suceder para que … ??????

Ejemplo: Calcular la integral de Riemann para f(x) = x en [a,b]. Considerando las particiones aritméticas: Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n} Se tiene que:

Teorema Si la norma de la partición Pn se aproxima a cero, la suma inferior y superior coinciden. Esto es, Notar que es equivalente a decir:

OBS: Si hacemos que la norma de la partición Pn se aproxime a cero. Entonces, la suma de Riemann se aproximará a un valor A que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) , y el eje x desde a hasta b.

Interpretación … La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.

Teorema Considere una sucesión de particiones Pn de un intervalo [a,b] tales que: y, Entonces, f es Riemann integrable,

Veamos esto geométricamente… n = 3 rectángulos

n = 6 rectángulos

n = 12 rectángulos

n = 24 rectángulos

n = 48 rectángulos

n = 99 rectángulos

Pensar en… Alguna función que NO sea Riemann integrable.

Definición: Sea f : [a,b]   una función acotada P una partición de [a,b] Una SUMA DE RIEMANN para la función f respecto a la partición P es una suma finita de la forma:

En la grafica hemos considerado el punto medio de cada sub-intervalo. x1 x2 … a=x0 xn-1 b=xn

Otra grafica… • y x y = f(x) x0=a xn=b x1 x2 xn-1 xi xi-1 Δ1x Δ2x Δix y x y = f(x) x0=a xn=b x1 x2 xn-1 xi xi-1 • Δ1x Δ2x Δix Δnx Δn-1x … w1 w2 wi wn-1 wn

Ejercicios: Sea f(x) = x2. Considerar una partición del intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo largo. Encontrar la suma inferior, superior y de Riemann. Estudiar estas sumas para una partición de n subintervalos. Hallar el área de f(x)=x2+2, entre x=-1 y x =2 mediante la busqueda del limite de las sumas de Riemann.

Ejercicios: Evaluar : Donde: x0=0, x1= …, xn =/6 Evaluar: Donde: x0=1, x1=1+x …, xn =3

OBS: Cuando la función considerada es continua la suma superior e inferior corresponde a la suma de Riemann. Escribimos: Para denotar que:

Teorema: Sea f : [a,b]   una función acotada, entonces: Si f es integrable en [a,b] , entonces:

Propiedades: Sean f , g : [a,b]   acotadas e integrables. Se cumple:

Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.

Proposición Si m  f(x)  M , salvo quizás en un conjunto finito de puntos, entonces:

Proposición(Aditividad): Si f : [a,b]   es acotada e integrable, y para todo c  [a , b] . Se cumple: f es integrable en los intervalos [a , c ] y [c , b]. Además se verifica el reciproco.

Teorema: Si f : [a,b]   es continua en [a , b] excepto en x0 , x1 , x2 , …, xn Entonces, f es integrable en [a,b]. Además, se verifica:

Ejercicio: 1. Sea f una función continua en 1, 5, si: Determine el valor de:

Definición: Sea f : [a,b]   acotada e integrable. Definimos:

Criterios de Integrabilidad

Teorema: S f : [a,b]   es monótona entonces f es integrable.

Observación Muchas de las funciones con las cuales se trabaja en cálculo son monótonas por intervalos. Por la propiedad de aditividad y este teorema podemos argumentar la integrabilidad de prácticamente todas las funciones elementales, como por ejemplo: ex , ln x, arctan x, etc.

Teorema: S f : [a,b]   es continua entonces f es integrable.

Veamos una aplicación de la integral…

Definición: Sea f : [a,b]   integrable . se define el VALOR PROMEDIO de f en [a,b] por:

Teorema: Sea f : [a,b]   continua. Entonces existe c[a,b] tal que f ( c ) = AV(f).

Ejercicios propuestos

1. Calcular: 2. Dem. 3. ¿Qué valores de a y b maximizan el valor de: ?

4. Hallar el valor medio de f(x) = 3x2-2x en [1,4] 5. Sea f una función continua y positiva en [a, b] tal que: Prueba que : f(x) = 0, x [a, b] 6. Justificar:

7. Sea: Justifica que f es integrable en [0,1], y se verifica la desigualdad:

8. Expresa el siguiente límite como sumas de Riemann: 9. Estimar el área bajo la gráfica de f(x) = sen x en [0, π] usando la suma superior e inferior , para una partición regular con n = 4. Además calcular la suma de Riemann con la elección de los puntos medios de los sub-intervalos.

10. Determine el valor de k, de modo que: 11 10. Determine el valor de k, de modo que: 11. Hallar el valor de c tal que el valor medio de la funci´on f(x) = x4 − 1 sobre [−c, c] es 0.

10. Sea: Calcular:

????? 12. Justificando su respuesta, responda lo siguiente: ¿Será correcto afirmar que: ?????

Observación: En algunos de los ejercicios propuestos resulta necesario utilizar la regla de Barrows, que veremos la próxima semana.