Operaciones con funciones Prof. Mayra Alonso Suma Resta Multiplicación División Composición

Prerrequisitos Evaluar funciones Hallar el dominio de una función Simplificar polinomios Reconocer un conjunto Hallar la intersección de dos conjuntos

Objetivos Definir las operaciones de funciones Hallar la suma, resta multiplicación y división de funciones Hallar la composición de funciones Resolver problemas sobre composición de funciones

Definiciones Suma Resta Multiplicación División Las funciones al igual que los números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. A continuación las definiciones de cada operación con las funciones. Sean f y g dos funciones. Entonces: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g(x) (f  g)(x) = f(x)  g(x) siempre que g(x)  0 Suma Resta Multiplicación División

Símbolo de intersección Definiciones Símbolo de intersección El dominio de cada combinación de funciones se define: Dom f+g = {x | x Dom f  Dom g} Dom f-g = {x | x Dom f  Dom g} Dom fg = {x | x Dom f  Dom g} Dom f/g = {x | x Dom f  Dom g} Las definiciones implican que el dominio de una combinación es el conjunto de valores que pertenecen al dominio de f y también al dominio de g.

El ejercicio provee dos funciones. Ejemplo El ejercicio provee dos funciones. Sea f(x) = x + 3 y g(x) = x2.  Halle:  (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 3 + x2   (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x + 3 – x2 (f  g)(x) = f(x) g(x) = (x + 3)x2 = x3 + 3x2

El ejercicio provee dos funciones. Ejemplo El ejercicio provee dos funciones. Sea f(x) = 2x y g(x) = x-1  Halle:  (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + x - 1 =3x -1   (f - g)(x) = f(x) - g(x) = 2x –(x-1)= x + 1 (f  g)(x) = f(x) g(x) = (2x)(x – 1)=2x2 – 2x

Otra operación de función Existe otra operación que no existe en los números. Esta nueva operación se llama composición de funciones y su símbolo es f o g ( se lee f compuesta con g) Recuerde el concepto de función. Este consiste de dos conjuntos y una regla de correspondencia donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento en el segundo conjunto.

Operación composición Suponga que tenemos dos funciones: Dom f Alcance f 3 9 Observe que los elementos del Alcance de f se convierten en el dominio de G Alcance G Dom G

Definición de composición Queremos hallar una función que lleve directo desde el tres hasta un noveno. Esta nueva función se llama composición y se define como:   (g o f)(x) = g( f(x) ) Símbolo de composición Esto quiere decir que hay que evaluar a g en f(x). Es decir, reemplazar la x en g(x) por la función f(x).

Ejemplo Sea y Halle G o f (G o f)(x) = G(f(x)) = G(x2) =

Ejemplo Sea f(x) = 2x + 4 y G(x) = x2 + 1 Halle (G o f)(x) (G o f)(x) = G(f(x)) = G(2x + 4) = (2x+4)2 + 1 = (4x2 + 16x + 16) + 1 = 4x2 + 16x + 17 Trinomio!!! Cuadrado del primero más el primero por el segundo y multiplicado por dos y cuadrado del último.

Observe que f o g NO es lo mismo que g o f Ejemplo Queremos determinar si g o f es equivalente a f o g. Utilizaremos las dos funciones del ejemplo anterior. Sea f(x) = 2x + 4 y G(x) = x2 + 1 (f o G)(x) = f(G(x)) =f(x2 + 1) = 2(x2 + 1) + 4 =2x2 + 2 + 4 = 2x2 + 6 Observe que f o g NO es lo mismo que g o f

Ejercicios de Práctica Revisa en la sección de ejercicios los Asignados.

Recuerda trabajar los ejercicios de práctica FIN Recuerda trabajar los ejercicios de práctica