“Polígonos y cuerpos geométricos” UNIDAD I “Polígonos y cuerpos geométricos” Mtra. Claudia García Pérez M. En C. Juan Adolfo Álvarez Mtz. http://www.uaeh.edu.mx/virtual

Definición Circunferencia Círculo Empecemos por abordar dos definiciones que diferencien lo que es una circunferencia y un círculo: Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro. La figura representa una circunferencia de centro O.

Definición Circunferencia A r C O B es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro. La figura curva cerrada representa una circunferencia de centro O. Circunferencia A r C Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro. La figura representa una circunferencia de centro O. O B

Definición Circunferencia A r C O B Los puntos A, B, C, son los puntos de la circunferencia O B Cada una de las rectas que pasa por el centro y toca un punto de la circunferencia se llama radio

Definición Circunferencia A r C O B y los segmentos AO igual a OB igual a OC igual a r, se llaman radios. O B

Definición Circunferencia A r C O B Las circunferencias se denominan por su centro mediante una letra mayúscula y su radio. Esta circunferencia es la circunferencia O y r. O B

Definición Círculo Es el área del plano limitada por la circunferencia El círculo se puede definir como el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma Es el área del plano limitada por la circunferencia

Líneas de la circunferencia M I A N C P O H En la circunferencia se pueden tener segmentos o porciones que la tocan, los que permiten se puedan realizar diferentes cálculos dependiendo la situación. Empecemos por ver cada uno de ellos: G J D E F B

Arco de la circunferencia Líneas de la circunferencia Arco de la circunferencia Arco AC A C O Arco de la circunferencia. Es una porción de circunferencia. Es una porción de la longitud de la circunferencia

Líneas de la circunferencia Cuerda CD C O Cuerda. Es el segmento determinado por dos puntos de la circunferencia. D B

Líneas de la circunferencia Diámetro AB A Es una recta que pasa por el centro y toca dos puntos de la circunferencia O Diámetro. Es toda cuerda que pasa por el centro: segmento AB. El diámetro es igual a la suma de dos radios. Segmento AB igual a segmento AO más segmento OB. B

Líneas de la circunferencia Secante Recta EF Es una recta que pasa o corta en dos puntos a la circunferencia, pero que no pasa por el centro. O Secante. Una recta como EF que tiene dos puntos comunes con la circunferencia se dice que es una secante. E F

P es el punto de tangencia o punto de contacto Líneas de la circunferencia Tangente Recta IJ I P es el punto de tangencia o punto de contacto P O Tangente. Si la recta tiene un solo punto común con la circunferencia, como la recta IJ, se dice que es tangente y al punto P se le llama punto de tangencia o punto de contacto. J Es la recta que toca un punto de la circunferencia

Líneas de la circunferencia Exterior M Recta MN N O Si la recta no tiene ningún punto común con la circunferencia, como la recta MN se dice que es exterior.

Ángulos en la circunferencia Central Inscrito Semi - inscrito Ángulos en la circunferencia Ex - inscrito Ahora veamos los ángulos que se pueden formar en la circunferencia: Interior Exterior

Ángulos CENTRAL Fórmula A r O B ∠ AOB = ∩AB El central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, tal como el ángulo AOB. La medida del ángulo central es igual a la de su arco correspondiente. B

Ángulos ∠ B = INSCRITO Fórmula A O B C El inscrito es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes. La medida de todo ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. B C

Ángulos SEMI - INSCRITO Fórmula ∠ ABC = O B D C A El semi - inscrito es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es una tangente y el otro una secante. La medida del ángulo semi - inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. C A

Ángulos INTERIOR Fórmula ∠ B = E D B O A C El interior es el ángulo cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia. Los ángulos ABC, EBD, ABE y CBD son interiores. La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y por sus prolongaciones. A C

Ángulos EXTERIOR Fórmula ∠ C = A B O C D E El exterior es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia. El ángulo ACE es exterior. La medida del ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados. D E

Ejemplos M Q 40° S P N ∩PQ = 10° ∠ QSP = 40° ∩MN = ? En base a todo lo anterior, revisemos algunos ejemplos: Si el arco PQ es igual a 10° y el ángulo QSP igual a 40°, ¿cuál es la medida del arco MN?.

Ejemplos ∠ S = M Q 40° S P N ∩PQ = 10° ∠ QSP = 40° ∩MN = ? Se tiene que es un ángulo exterior, en donde la medida de este ángulo es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados. Esto es, el álgulo S es igual al cociente de la diferencia del arco MN menos el arco PQ entre 2. La medida del ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados. ∠ S =

Ejemplos ∠ S = M Q 40° S P N ∩PQ = 10° ∠ QSP = 40° ∩MN = ? 40° Sustituyendo valores, tenemos que el ángulo de S, es el valor del ángulo QSP 40°

Ejemplos ∠ S = M Q 40° S P N ∩PQ = 10° ∠ QSP = 40° ∩MN = ? ? 40° = El arco MN es el que queremos conocer. ? 40° =

Ejemplos ∠ S = M Q 40° S P N ∩PQ = 10° ∠ QSP = 40° ∩MN = ? ? - 10° El valor del arco PQ es igual a 10° ? - 10° 40° =

Ejemplos ∠ S = M Q 40° S P N ∩PQ = 10° ∠ QSP = 40° ∩MN = ? ? - 10° Y en el denominador tenemos el 2, de acuerdo a la fórmula. ? - 10° 40° = 2

Ejemplos ∠ S = M Q 40° S P N ∩PQ = 10° ∠ QSP = 40° ∩MN = ? ? - 10° Despejando la incógnita que es el arco de MN, se tiene que es igual a 90°. ? - 10° 40° = 2 = 90°

Ejemplos A O B C ∩AC = 100° ∠ ABC = ? Otro ejemplo es: Si el arco AC es igual a 100°, ¿cuál es la medida del ángulo ABC?

Ejemplos ∠ B = A O B C ∩AC = 100° ∠ ABC = ? La medida de todo ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. B C Se tiene que el ángulo es inscrito, por lo que la medida del ángulo es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. ∠ B =

Ejemplos ∠ B = ∠ B = A O B C ∩AC = 100° ∠ ABC = ? 100° El arco AC es igual a 100°

Ejemplos ∠ B = ∠ B = A O B C ∩AC = 100° ∠ ABC = ? 100° 2 El cual se divide entre 2, de acuerdo a la fórmula.

Ejemplos ∠ B = ∠ B = ∠ B = 50° A O B C ∩AC = 100° ∠ ABC = ? 100° 2 Por lo tanto, la medida del ángulo B es igual a 50° ∠ B = 50°

referencias Baldor, J. A. Geometría Plan y del Espacio con una Introducción a la Trigonometría. Publicaciones Cultural, S. A. México, 1984. Pérez M. Matemáticas 2. Alfaomega Editores. México 2006.