Geometría de Proporción I. Geometría de Proporción II.

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Transcripción de la presentación:

Geometría de Proporción I

Geometría de Proporción II

APRENDIZAJES ESPERADOS: Conocer el teorema de Apolonio. Conocer las diferentes presentaciones del teorema de Thales y Euclides. Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en la resolución de ejercicios.

Segmentos proporcionales Contenidos 2. Teorema de Euclides 1. Teorema de Apolonio 3. Teorema de Thales

Segmentos proporcionales 1. Teorema de Apolonio (de la bisectriz) b u a v = b v u  a  D Este teorema es válido para cualquier triángulo. En el triángulo de la figura, CD es bisectriz, entonces se cumple la siguiente proporción:

D   Solución: Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de Apolonio, se tiene: 9 AD 10 5 =  AD = 9 2 Ejemplo: En la figura, determinar el valor de AD.

2. Teorema de Euclides Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = h c, la altura sobre la hipotenusa, entonces: Además, se cumple que: ∙ h c 2 = p qa 2 = c q ∙ b 2 = c p ∙ h c = a·b c T. De la Bendición T. De la Derecha T. De la Izquierda T. De la Altura

De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Ejemplo: Aplicando Teorema de Euclides:(Bendición) CD 2 = AD DB∙ (Reemplazando) CD 2 = 4 3∙ (Aplicando raíz) CD = 4 3∙ CD = 2 3

Además, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que: AC 2 = AB AD ∙ (Reemplazando) (Aplicando raíz) AC = 2 7 AC 2 = 7 4 ∙

C D F E A B L1L1 L2L2 L3L3 3. Teorema de Thales Sean L 1 // L 2 // L 3, entonces: Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse: AB BC DE EF = BC AC EF DF = AB AC DE DF = a) Forma de Escalera:

b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales: Sean L 1 // L 2, entonces: A O C DB L1L1 L2L2 OA AB OC CD = OA OB OC OD = OA AC OB BD = OC AC OD BD = AB OB CD OD =

Sean L 1 // L 2, entonces: L1L1 L2L2 A C B O D AO OD BO OC = AB CD AO OD = AB CD BO OC = c) Forma de Reloj de Arena:

Ejemplos: 1. En la figura, L 1 // L 2. Determinar el valor del trazo AC. A O C DB L1L1 L2L Solución: Aplicando el Teorema particular de Thales o «A»: OA AC OB BD = 5 AC = AC = 15  

2. En la figura, L 1 // L 2. Determinar el trazo OD en función de x e y. Solución: Aplicando la «forma de reloj de arena» del Teorema de Thales: L1L1 L2L2 A C B O D x + y 2y 2x AB CD AO OD =  x+y 2x 2y OD =  4xy x+y OD =

Ahora a estudiar….