TEOREMA DE PITÁGORAS.

Presentación del tema: "TEOREMA DE PITÁGORAS."— Transcripción de la presentación:

1 TEOREMA DE PITÁGORAS

2 c a b a² + b² = c² La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

3 TRÍOS PITAGÓRICOS Los tríos más usados en ejercicios son: CATETO (A) CATETO (B) HIPOTENUSA (C) A² + B² = C²

4 Un ejemplo: El anuncio sobre la venta de un monitor para computadora de 25 pulgadas que esta en promoción me llamó la atención, pero al llegar a la tienda y revisar las medidas del monitor resultó que mide 19.5 pulg de ancho y 15.5 pulg de altura. ¿Acaso la publicidad me engaño? 19.5’’ 15.5’’ 25’’ PRIMER PASO 19.5’’ 15.5’’

5 Según el teorema de Pitágoras: La diagonal = hipotenusa =
SEGUNDO PASO Según el teorema de Pitágoras: La diagonal = hipotenusa = TERCER PASO La diagonal = hipotenusa = 24.9 pulg CONCLUSIÓN: Los fabricantes se refieren a la longitud de la diagonal de la pantalla que efectivamente mide 25 pulgadas.

6 Teorema de Thales Algunos datos
Nació : alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía) Thales era un hombre que se destacó en varia áreas : comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra Thales era considerado uno de los siete sabios de Grecia

7 Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como el teorema de Thales.

8 Ahora El famoso teorema

9 EL TEOREMA DE TALES EN UN TRIÁNGULO
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo B’C’, a uno de los lados del triángulo se obtiene otro triángulo AB’C’, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. B’ C’ B C A Los segmentos son proporcionales.

10 H(altura de la pirámide) H h = s S h•S H= s
Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra Rayos solares y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes Podemos, por tanto, establecer la proporción S (sombra) H(altura de la pirámide) H h = s S h•S H= De donde s s (sombra) h (altura de bastón) Pirámide

11 los segmentos a, b, c y d son proporcionales
"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales En el dibujo: Si L1 // L2 // L3 , T y S transversales, los segmentos a, b, c y d son proporcionales T S Es decir: L1 c a = L2 b d ¿DE ACUERDO? L3

12 Un ejemplo: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del trazo x
8 24 x 15 Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales X 15 Es decir: 8 = 24 Y resolvemos la proporción 24 • x = 8 • 15 Fácil X =8 • 15 24 X = 5

13 Otro ejemplo: en la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD
Formamos la proporción 3 x+4 = x+1 2 Resolvemos la proporción 3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x= 8 - 3 X=5 Luego, como CD = x + 4 CD= = 9

14 Y nuevamente pensando en la pirámide…..
TRIÁNGULOS DE  THALES Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.   S (sombra) H(altura de la pirámide) Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide s (sombra) h (altura de bastón)

15 A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L”
Triángulos de Thales En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón  de semejanza  B C A D E AE AB AB AE De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre: ED = BC ED O también = BC A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L”

16 Aplicaciones de esta idea
Calcula la altura del siguiente edificio x x 5 3 12 Escribimos la proporción Por que 3+12=15 3 15 = 5 Y resolvemos la proporción 3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25

17 Otro ejercicio En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE
Formamos la proporción Por que x+3+x = 2x+3 A B C x+3 x 8 12 D E 8 12 = X+3 2x+3 Resolvemos la proporción 8(2x + 3) = 12( x + 3) 16x + 24 = 12x + 36 16x – 12x = 36 – 24 4x = 12 X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = = 6

18 otro ejemplo: Encuentra las medidas de los segmentos a y b a = 8 cm
b = 3 cm 6 cm 4 cm 2 cm b a

19 Teorema de Thales a) Forma de Escalera:
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse: a) Forma de Escalera: Sean L1 // L2 // L3, entonces: C D F E A B L1 L2 L3 AB BC DE EF = BC AC EF DF = AB AC DE DF =

20 b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:
Sean L1 // L2, entonces: A O C D B L1 L2 OA AB OC CD = OA OB OC OD = AB OB CD OD = OA AC OB BD = OC AC OD BD =

21 c) Forma de Reloj de Arena:
Sean L1 // L2, entonces: L1 L2 A C B O D AO OD BO OC = AB CD AO OD = AB CD BO OC =

22 1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC.
Ejemplos: 1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC. A O C D B L1 L2 5 7 36 Solución: Aplicando el Teorema particular de Thales o «A»: OA AC OB BD =  5 AC 12 36 =  AC = 15

23 En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en función de x e y.
B O D x + y 2y 2x Solución: Aplicando la «forma de reloj de arena» del Teorema de Thales: AB CD AO OD =  x+y 2x 2y OD =  4xy x+y OD =

24 1. Figuras congruentes ( )
1.1 Definición Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos:

25 1.2 Triángulos congruentes
Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1° Lado, lado, lado (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: A C B D F E 8 8 6 6 10 10 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

26 a a 2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C E F D 3 3 a a 5 5 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

27 b b a a 3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C E F D b b 12 12 a a Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

28 2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo: El cuadrado de lado 2√p , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4p Área = 4p

29 3. Figuras semejantes (~)
3.1 Definición Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área. G F J I H a b g d e A E D C B a b g d e Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

30 ¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?
Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman “homólogos”.

31 Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

32 Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
B C 18m 15m 12m P Q R Multiplica cada uno de los lados por 3. x 3 Los lados del triángulo se han triplicado.

33 Identificamos algunos elementos :
B C RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 18m 15m 12m P Q R AB BC AC PQ QR PR LADOS HOMÓLOGOS

34 Criterios de semejanza de triángulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos

35 Existen tres criterios de semejanza de triángulos
AA ( ángulo-ángulo) LLL (lado-lado-lado) LAL (lado-ángulo-lado)

36 Primer criterio : AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a´ a b´ b g´ g Es decir: Si a = a´ , b = b´ de lo anterior se deduce que g = g´ Entonces, D ABC semejante con D A´B´C´

37 ¡SI! Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 65° 25°
Q 25° 65° P R 65° 25° A B C ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

38 Segundo criterio: LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a a´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. Es decir: = b b´ c c´ =K

39 Ejemplo : Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes A B C P
1,5 3,5 5 P Q R 3 7 10 Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 1,5 3 3,5 7 5 10 = = = 0,5 Efectivamente , así es, ya que los productos la razón entre los lados correspondientes es constante Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

40 Tercer criterio:LAL y a = a’
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A’ B’ C’ A B C Es decir: a a’ = c c’ y a = a’ a´ Entonces D ABC semejante a D A’B’C’

41 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales
Ejemplo : ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A B C 4 3 D E F 9 12 3 4 = 9 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES