Clase Proporcionalidad y semejanza I° Ciclo Prof. María José Lascani.

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1 Clase Proporcionalidad y semejanza I° Ciclo Prof. María José Lascani

2 1.1 Proporcionalidad de segmentos 1. Proporcionalidad de segmentos Los segmentos AB y CD son PROPORCIONALES a EF y GH, si se cumple El cociente de dos segmentos correspondientes se llama razón de semejanza o escala. Se designa por la letra k. AB CD EF GH = = k 42 2 6 14

3 2.1 Proporcionalidad de segmentos 2. Proporcionalidad de figuras Dos figuras son semejantes cuando los segmentos determinados por cualquier par de puntos del original y los segmentos correspondientes de la copia son proporcionales. La foto pequeña de la escultura mide 21 mm de ancho y 35 de alto. La foto grande es una ampliación y sus dimensiones son 36 mm de ancho por 60 mm de alto. Por eso decimos que son figuras semejantes.

4 3. Semejanza 3.1 Definición Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados correspondientes sean proporcionales. A E D C B      G F J I H      Se llaman lados correspondientes a los lados que unen dos vértices con ángulos respectivamente congruentes

5 3.2 Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. AB C    E F D    AB es correspondiente a DE BC es correspondiente a EF AC es correspondiente a DF  AB DE BC EF AC DF = = = k 3. Semejanza Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

6 1° Criterio AA Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes. 3. Semejanza 3.3 Criterios de semejanza 2° Criterio LLL Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. 3° Criterio LAL Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. A BC A´ B´ C´ 50º 50º 60º 60º 70º 70º A´ B´ C´ A B C 5 6 4 10 12 8

7 En triángulos semejantes, los elementos secundarios también son proporcionales y están en la misma razón que sus lados homólogos. 3. Semejanza A B C hChC P R Q hRhR 3.4 Razón de semejanza Si, entonces AB PQ = k La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón entre sus elementos homólogos. La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

8 4. Teorema de Thales 4.1 Aplicar semejanza de triángulos Los ángulos son iguales por tener los lados paralelos Al construir un triángulo ABC y trazar una recta paralela a uno de los lados y que corte a los otros lados. B’ C’ A B C Al ser una recta paralela, ésta corta los lados de cada triángulo en lados proporcionales: A’  Se forma un triángulo pequeño A’B’C’.

9 4. Teorema de Thales 4.1 Aplicar semejanza de triángulos Este resultado es válido para cualquier triángulo y se conoce como teorema de Tales. Toda paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo pequeño, A’B’C’, semejante al grande, ABC (A  A´). Los triángulos semejantes, ABC y A´B´C´ se dice que están en posición de Tales. Al aplicar el criterio LAL de semejanza de triángulos B’ C’ A B C A’ 

10 Recuerde: Guía semanal Pág. 22 – 23 – 24 – 29 31 – 32 de guía de geometría.