Ecuaciones Diferenciales Profesor: Pedro Elías Vera Bautista Profesora: Aurora Gafaro Grupo de investigación GIII

Definición 2  Una Ecuación Diferencial es un modelo matemático que contiene: funciones, derivadas y constantes. Mediante el cual se representan situacines fisicas o ingenieriles.

Clasificacion de las Ecuciones Diferenciales 2 Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad. Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO): Ejemplo: Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP) Ejemplo: En estos estos ejemplos se nota que existen más de dos variables independientes, contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente.

2 Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y (n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y',..., y (n) ) = 0 es: En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que: La variable dependiente "y" y todas sus derivadas y', y'',..., y (n) son de primer grado. Y los coeficientes a 0, a 1,..., a n dependen solo de la variable x. Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tiene las siguientes: a) y''+xy'-3y=e 2x b) y''' + y'' + y = 0, c) (1-x) y'' - 4xy' + 5y = cos x

2 Los ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos: a)(1-y) y'' - 2y= e x, es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y'' también depende de y. b) y'' + sen y = 0 Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y c) y'' + y 2 = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y es 2, y no 1 para que sea lineal. d) (y''') 3 + xy'' - 3y = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y''' es 3 y para ser lineal debe ser 1

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 6 Variables Separables E una ecuación donde M es una función continua de x solamente, y N una función continua de y solamente. En este caso los términos en x se pueden unir con dx y todos los términos en y con dy, y se obtiene una solución por integración. Ejemplo:

7 Ecuación Diferencial Homogénea Si la ecuación diferencial tiene la forma: M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0, y cumple con la propiedad: Se dice que es una ecuación diferencial Homogénea si la ecuación diferencial tiene el mismo grado de homogeneidad se pueden reducir a una ecuación de separación de variables utilizando una sustitución y= ux o x = vy Donde u y v son variables dependientes.

8 Ejemplo: Resolver

9 Resolviendo la integral y reemplazando nos queda: Nos queda:Reemplando Por propiedades

10 Ecuación diferencial Exacta Si en la ecuación diferencial de la forma: M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 El lado izquierdo corresponde a la derivada total de alguna función f (x,y) la ecuación diferencial es exacta. Criterio de exactitud Si M y N tienen derivas parciales continuas, entonces la ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es exacta si y solamente si: dM/dy = dN/dx

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12 Ejemplo: Resolver el siguiente ejercicio:

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14 Ecuación Diferencial de Primer Orden Lineal

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16 Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

17 Ecuación Diferencial de Bernoulli Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: Se convierte la ED de Bernoulli en una ED lineal mediante la sustitución: Resolvemos la ED que ahora es lineal

18 Ejemplo: Resolver el siguiente ejercicio: Solución: Operando

19 Por lo tanto la respuesta final es: