ESCUELA: NOMBRES: ÁLGEBRA FECHA: Ciencias de la Computación Ing. Ricardo Blacio OCTUBRE 2009 – FEBRERO

CONTENIDOS (PRIMER BIMESTRE) 1.Conceptos fundamentales del Álgebra. 2.Ecuaciones y desigualdades. 3.Funciones y gráficas. 4.Funciones polinomiales y racionales. 5.Funciones exponenciales y logarítmicas.

1. Conceptos fundamentales del Álgebra Sistema de números reales 3 Numeros complejos Números reales Números racionales Enteros Negativos0Positivos Números irracionales R C Q Q΄Q΄ Z Z-Z- Z⁺Z⁺

4 Recta de números reales 0 1 ⁄ ∏ R-R- R⁺R⁺ Notación científica a= c x 10 n, donde 1<=c<10 y n es un entero 412 en notación científica es 4.12 X en notación científica es 9.8 X Ejemplo:

Exponentes 5 Leyes a 0 = 1 (a/b) n = a n /b n a -n = 1/a n a m /a n = a m-n a m a n = a m+n a m /a n = 1/a n-m (a m ) n = a mn a -m /b -n = b n / a m (ab) n = a n b n (a/b) - n = (b/a) n Exponentes y radicales

Radicales 5 Leyes n √ a.b = n √ a n √ b n √ (a/b) = n √ a / n √ b m √ n √ a = mn √ a Exponentes racionales a 1/n = n √ a a m/n = ( n √ a) m = n √ a m

7 Monomio ax n Polinomio a n x n + a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 Operaciones: Suma Resta Multiplicación División Expresiones algebraicas

8 Fórmulas de Productos (x + y)(x – y) = (x 2 -y 2 ) (x ± y) 2 = (x 2 ± 2xy+y 2 ) (x ± y) 3 =(x 3 ±3x 2 y+3xy 2 ±y 3 ) Fórmulas de factorización ( x 2 - y 2 ) =(x + y)(x – y) (x 3 - y 3 ) = (x - y)(x 2 + xy+y 2 ) (x 3 + y 3 ) = (x + y)(x 2 -xy+y 2 )

9 Cociente El denominador es cero si: Dominio 6x 2 - 5x + 4 x x = ±3Toda x ≠ ±3 x 3 – 3x 2 y + 4y 2 y – x 3 y = x 3 Toda x y y tales que y ≠ x 3 Expresiones racionales Expresiones fraccionarias Expresión racional del tipo p/q donde p y q son polinomios

Ecuaciones  Ecuaciones Lineales: son de la forma ax + b = 0; a≠0; (a y b son R) 1 sol.  Ecuaciones Cuadráticas: su forma: ax 2 +bx+c = 0;a≠0 2 sol. Se puede resolver mediante: Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y aplicando la fórmula cuadrática 10 2.Ecuaciones y desigualdades

11 Discriminante. Sí Fórmula cuadrática

Otro tipo de ecuaciones como son:  Ecuaciones con valor absoluto.  Solución de una Ecuación por agrupación.  Ecuaciones con exponentes racionales  Ecuaciones con radicales 12

13 Desigualdades Se solucionan utilizando las propiedades de las desigualdades. La mayor parte de las desigualdades posee un infinito número de soluciones. La solución de las desigualdades se dan en notación de intervalos. Un intervalo es un conjunto infinito de puntos con una notación especial. Ejemplos:

14 Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto, cuadráticas Desigualdad con valor absoluto Propiedades |a| < b equivale a –b < a < b |a| > b equivale a a b

15w 3.Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares III IIIIV P(a,b) a b O Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P 1,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 El punto medio M de un segmento entre P 1 y P 2 M= x 2 +x 1, y 2 +y 1 2 2

16 Gráfica de ecuaciones Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla. Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades. Intersecciones con los ejes. Simetrías.

17 Intersecciones: Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0 Simetrías: Para saber si la gráfica es simétrica con respecto Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación. Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación. Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación.

18 Circunferencias: La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: x 2 + y 2 = r 2

19 Rectas Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos. Formas de la ecuación de la recta: General ax + by = c Punto-pendiente y – y1 = m (x – x1) Punto y pendiente con intersección con el eje y y = mx + b

20 La pendiente de la recta es: M = (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 ) Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas son paralelas si : m1 = m2; es decir si sus dos pendientes son iguales. Dos rectas son perpendiculares si: m1m2 = -1; es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1.

Definición de función Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. 21 Dominio Rango x y

22 Variables: x se denomina variable independiente. y se denomina variable dependiente. Dominio El dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real. Rango El rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los resultados de la función al aplicar los valores del dominio.

23 Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica

24 Sea I un intervalo del dominio de una función f: f es creciente en I si f(x1) f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es constante en I si f(x1) = f(x2) para toda x1 y x2. Función creciente, decreciente o constante

Al reemplazar la variable x por –x: Si f(-x) = f(x) la función es par Si f(-x) = -f(x) la función es impar Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y. Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen. 25 Paridad de una función

Tipos de Funciones Funciones Lineales Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0 Se llaman así porque su gráfica es una línea recta Funciones Cuadráticas Del tipo f(x) = ax 2 + bx + c a ≠0 Su gráfica es una parábola

27 Operaciones con funciones Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división

28 La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x)) Composición de funciones Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones

Ing. Ricardo Blacio Docente – UTPL Correo electrónico: 29

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