PPTCEG049EM32-A16V1 Distribución normal EM-32

Recordemos… -¿Cómo se calcula el valor esperado para una determinada variable aleatoria? -¿Cómo es posible reconocer una situación que se modela mediante una distribución binomial? Resumen de la clase anterior

Aprendizajes esperados Comprender y aplicar el concepto de variable aleatoria continua. Aplicar la distribución normal en problemas cotidianos, tanto en estudios estadísticos como en el cálculo de probabilidades. Determinar intervalos de confianza para la media de una población. Ajustar una distribución binomial a una distribución normal.

Si una variable aleatoria X tiene distribución normal con media μ igual a 1 y desviación estándar σ igual a 2, ¿cuál de las siguientes variables aleatorias tiene distribución normal de media 0 y varianza 1? A) B) C) D) E) Pregunta oficial PSU Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2017 ¿Qué nombre recibe este tipo de distribución? ¿Cómo es la representación gráfica de esta distribución?

1. Función de densidad 2. Distribución normal 3. Intervalos de confianza 4. Aproximación binomial a normal

Solo se puede calcular la probabilidad de intervalos, ya que una probabilidad puntual es igual a cero. En la clase anterior trabajamos el concepto de función de probabilidad asociado a alguna variable aleatoria discreta. En el caso de variables continuas se conoce como función de densidad de probabilidad. 1.1 Definición 1. Función de densidad Si se quiere conocer el porcentaje de los datos que se encuentran en un determinado intervalo de la población, basta con calcular el área bajo la curva en dicho intervalo. Este porcentaje está asociado a la probabilidad de obtener al azar un elemento de la población que se encuentre en este intervalo. Si la función está expresada algebraicamente, es recomendable graficarla. Al representar gráficamente una función de densidad, el área bajo la curva siempre debe ser igual a uno, ya que bajo esta se encuentra el 100% de los datos. En el gráfico adjunto, X es una variable aleatoria continua con función de densidad f. En base a ello: (1)¿Cómo se puede despejar el valor de k? (2)¿Cuál es el valor del área entre 1 y 7?¿Cómo interpretarías este valor? (3)¿Cuánto es P(0 ≤ X ≤ 1), P(1 ≤ X ≤ 4) y P(4 ≤ X ≤ 7)? Reflexiona

Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es Si k es un número real positivo, entonces k es A) B) C) D) E) ninguno de los valores anteriores. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión Ejemplo ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 1 y 3 de tu guía. Más información en la página 146 de tu libro. ALTERNATIVA CORRECTA C 1. Función de densidad

2.1 Distribución normal tipificada 2. Distribución normal Es una distribución estadística cuya función de densidad es simétrica con respecto al eje Y, y cuya forma se denomina “campana de Gauss”. Sea Z una variable estadística con distribución normal. Se dice que Z se distribuye de forma normal tipificada o estandarizada si la media, la moda y la mediana de la distribución son 0, y su desviación estándar es 1  Z ~ N(0, 1). Z 0 – 1321 – 2– 3 34,1% 13,6% 2,1%

2.1 Distribución normal tipificada 2. Distribución normal En una curva de distribución normal, las áreas por intervalo son muy difíciles de calcular, por lo cual existe una tabla en el que se indican sus valores aproximados, donde el área bajo la curva es equivalente a la probabilidad que los datos sean menores o iguales que un determinado valor, P(Z ≤ z). Aquí se presenta parte de ella. En una distribución con variable continua no se pueden calcular probabilidades de valores puntuales, solo de intervalos. Luego, P(Z = z) = 0, por lo cual P(Z ≤ z) = P(Z < z).

Ejemplo: Sea Z una variable aleatoria con distribución normal tipificada. Z 0 La probabilidad que el valor de Z sea menor o igual que 1,15 es 0,875; ya que es igual al área bajo la curva hasta este punto. Es decir, el 87,5% de la población es menor o igual que 1,15. Área bajo la curva 1, Distribución normal tipificada 2. Distribución normal Por simetría de la curva, el 87,5% de la población es mayor o igual que – 1,15.

Propiedades: P(X ≥ a) = 1 – P(X ≤ a) (ya que el área total bajo la curva es 1) Si se conoce P(X ≤ a) y P(X ≤ b), con a > b, entonces: P(X ≥ – a) = P(X ≤ a) (ya que la curva es simétrica) P(b ≤ X ≤ a) = P(X ≤ a) – P(X ≤ b) (por descomposición de áreas) X 0 – aa b 2.2 Propiedades 2. Distribución normal

En la vida cotidiana existen muchos parámetros estadísticos que al ser graficados con respecto a su frecuencia tienen un comportamiento “normal”: estatura, peso, cociente intelectual, presión arterial, etc. Matemáticamente, significa que su gráfico tiene igual forma y características gráficas que la distribución normal tipificada, pero con distinta media y/o desviación estándar. Se llaman distribuciones normales no tipificadas (o no estandarizadas). X μ μ – σ μ + σ 2.3 Distribución normal no tipificada 2. Distribución normal Si una variable aleatoria X se distribuye de manera normal, con media µ y desviación estándar σ, X ~ N(µ, σ), se puede tipificar usando una variable Z que se distribuya de manera normal tipificada, mediante el cambio de variable: Si la desviación estándar aumenta, el “ancho” de la curva (distancia entre dos puntos simétricos) aumenta, mientras que su altura disminuye.

Sea X una variable aleatoria continua, tal que X ~ N( μ, σ 2 ), donde se sabe que P( μ – σ ≤ X ≤ μ + σ ) = 0,6826 y P( μ – 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ ) = 0,9545. ¿Cuál es el valor de P( μ + σ ≤ X ≤ μ + 2 σ )? A) 0,13595 B) 0,2719 C) 0,86405 D) 0,81855 E) Ninguno de los anteriores. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión Ejemplo ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 4 y 15 de tu guía. Más información desde la página 147 hasta la 150 de tu libro. ALTERNATIVA CORRECTA A 2. Distribución normal

X 1 – α Sea X una variable aleatoria que se distribuye de forma normal en una cierta población, con desviación estándar σ. Si la población es muy grande resulta bastante difícil calcular la media μ de X. Sin embargo, si se saca una muestra de X de promedio, se puede determinar un intervalo de confianza dentro del cual se encuentre μ, con un cierto nivel de confianza. 3.1 Definición 3. Intervalos de confianza α se conoce como el nivel de significancia y (1 – α) se conoce como el nivel de confianza.

Ejemplo: Sea Z una variable aleatoria con distribución normal tipificada. Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: (1 – α) · 100 = 95 (1 – α) = 0,95 α = 0,05 = 0,025 1 – = 0,975 Luego: = 1,96 Entre – 1,96 y 1,96 se encuentra el 95% de la población, es decir, en el intervalo: [– 1,96; 1,96]. 3.1 Definición 3. Intervalos de confianza

Si de una población, que para una cierta variable tiene un comportamiento normal con media μ y desviación estándar σ, se extrae una muestra de n elementos, donde el promedio de la muestra es, entonces el intervalo de confianza, con un nivel de confianza (1 – α), es: [ – E, + E] Donde E es el error, y se determina con la fórmula: De esto se concluye que con un (1 – α)% de seguridad, la media de la población se encuentra en el intervalo [ – E, + E]. 3.2 Error 3. Intervalos de confianza

Los datos de una población se modelan mediante una distribución normal, con media μ y varianza 4. Se toma una muestra de esta población de tamaño 49, cuyo promedio es 57,5. Si de esta muestra se obtiene un intervalo de confianza para μ igual a [56,94; 58,06], ¿cuál de los siguientes valores es el coeficiente asociado al nivel de confianza de este intervalo? A) 13,72 B) 0,98 C) 1,96 D) 0,56 E) 0,28 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión Ejemplo ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 9 y 11 de tu guía. Más información en las páginas 151 y 152 de tu libro. ALTERNATIVA CORRECTA C 3. Intervalos de confianza

Si un ensayo de Bernoulli se repite una gran cantidad de veces, esta distribución se puede aproximar a una distribución normal, donde la media de esta distribución será μ = n · p y la desviación estándar será ( (con n igual al número de repeticiones, p igual a la probabilidad de éxito y q igual a la probabilidad de fracaso). En general, entre más grande es n, mejor es la aproximación a la normal, aunque también se recomienda que se cumpla que n · p > 5 y n · q > Definición 4. Aproximación binomial a normal X ~ B(n, p) se aproxima a X ~ N(n · p, )

Sea X una variable aleatoria tal que X ~ B(40; 0,5). Si la distribución de X es aproximada por una distribución normal con media μ y desviación estándar σ, ¿cuáles de los siguientes valores corresponden a los valores de μ y σ, respectivamente? A) 20,5 y B) 20 y 10 C) 20 y 0,5 D) 20,5 y 0,5 E) 20 y Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión Ejemplo ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 21 y 22 de tu guía. Más información en la página 161 de tu libro. ALTERNATIVA CORRECTA E 4. Aproximación binomial a normal

Pregunta oficial PSU Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2017 Si una variable aleatoria X tiene distribución normal con media μ igual a 1 y desviación estándar σ igual a 2, ¿cuál de las siguientes variables aleatorias tiene distribución normal de media 0 y varianza 1? A) B) C) D) E) ALTERNATIVA CORRECTA B

Síntesis de la clase Recordemos… -¿Qué características tiene una distribución normal tipificada? -¿Qué información se necesita para determinar un intervalo de confianza respecto a la media poblacional?

Prepara tu próxima clase En la próxima sesión realizaremos Taller de Datos y Azar

Tabla de corrección NºClaveUnidad temáticaHabilidad 1 B Azar Aplicación 2 D Azar ASE 3 C Azar Aplicación 4 C Datos Comprensión 5 A Datos Comprensión 6 E Datos Comprensión 7 A Datos Aplicación 8 E Datos Comprensión 9 B Datos ASE 10 C Datos Comprensión 11 E Datos Aplicación 12 B Azar Aplicación

Tabla de corrección NºClaveUnidad temáticaHabilidad 13 B Azar Aplicación 14 C Azar ASE 15 D Azar Aplicación 16 B Azar Aplicación 17 C Azar ASE 18 B Azar Aplicación 19 C Azar ASE 20 C Azar Aplicación 21 D Azar Aplicación 22 B Azar ASE 23 D Azar Aplicación 24 E Datos ASE 25 D Azar ASE

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Cuenta regresiva Volver a: 1.Función de densidadFunción de densidad 2.Distribución normalDistribución normal 3.Intervalos de confianzaIntervalos de confianza 4.Aproximación binomial a normalAproximación binomial a normal 5.Pregunta oficial PSUPregunta oficial PSU