MEDIDAS DE DISPERSIÓN “Medidas de dispersión”. Miden qué tanto se dispersan las observaciones alrededor de su media. MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

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1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN “Medidas de dispersión”

2 Miden qué tanto se dispersan las observaciones alrededor de su media. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

3 En algunos casos existen conjuntos de datos que tienen la misma media y la misma mediana, pero esto no refleja qué tan dispersos están los elementos de cada conjunto. Ejemplo: Conjunto 1. 80, 90, 100, 110, 120 Conjunto 2. 0, 50, 100, 150, 200 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Conjunto 1 Conjunto 2 Observa que para ambos conjuntos la Mediana es igual a 100. También nota que los datos del conjunto 2 están más dispersos con respecto a su media que los datos del conjunto 1.

4 Existen diversas medidas estadísticas de dispersión, pero muchos autores coinciden en que las principales son: Rango Varianza Desviación estándar Coeficiente de variación MEDIDAS DE DISPERSIÓN

5 Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado (Límite superior) y el valor más bajo (Límite inferior). RANGO FÓRMULA Ejemplo 1. Ante la pregunta sobre número de hijos por familia, una muestra de 12 hogares, marcó las siguientes respuestas: 212413 2320 51 Calcula el rango de la variable Solución.

6 Ejemplo 2. Hay dos conjuntos sobre la cantidad de lluvia (mm) en Taipei y Seúl en un año. Calcula el rango en cada una de las ciudades. Solución. Aplicando la fórmula correspondiente tenemos: Taipei Seúl En este caso se puede observar que el rango es el mismo para ambos casos aunque las cantidades sean diferentes.

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8 Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. La sumatoria obtenida se divide por el tamaño de la muestra. VARIANZA (Datos no agrupados) FÓRMULA Muestral Poblacional

9 La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están. Ejemplo 1. Calcula la varianza para los siguientes datos 2 1 2 4 1 3 2 3 2 0 5 1 Solución. Primero es necesario obtener la media. En este caso Ahora aplicamos la fórmula correspondiente

10 Ejemplo 2. A continuación se muestran dos conjuntos de datos obtenidos a partir de un experimento químico que realizaron dos estudiantes distintos. Calcular la varianza. Solución. Primero es necesario obtener la media de cada conjunto de datos. En este caso Estudiante A Estudiante B Ahora aplicamos la fórmula correspondiente

11 Solución (Continuación). Estudiante A Estudiante B

12 También llamada desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución. Específicamente, la desviación estándar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma,σ, según se calcule en una muestra o en la población. Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca de la media. DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Datos no agrupados) FÓRMULA Muestral Poblacional

13 Ejemplo 1. Si retomamos el ejemplo 1 que corresponde a la varianza: Calcula la desviación estándar para los siguientes datos 2 1 2 4 1 3 2 3 2 0 5 1 Solución. Una vez que hemos calculado la media y la varianza, sólo resta calcular la raíz cuadrada de la varianza.

14 Ejemplo 2. Considerando nuevamente el segundo ejemplo que estudiaste para calcular la varianza, tenemos: A continuación se muestran dos conjuntos de datos obtenidos a partir de un experimento químico que realizaron dos estudiantes distintos. Calcular la varianza. Solución. Una vez que has calculado la media y la varianza, es necesario calcular la desviación estándar a partir de la obtención de la raíz cuadrada de la varianza. Estudiante A Estudiante B

15 Es una medida de dispersión que se utiliza para poder comparar las desviaciones estándar de poblaciones con diferentes medias y se calcula como cociente entre la desviación típica y la media. COEFICIENTE DE VARIACIÓN FÓRMULA Muestral Poblacional

16 Ejemplo 1. En dos cursos los promedios que sacaron sus alumnos fueron 6.1 y 4.3 y las desviaciones estándar respectivas fueron 0.6 y 0.45 respectivamente. ¿En qué curso hay mayor dispersión? Solución Para responder esto, debemos obtener el coeficiente de variación aplicando la fórmula Claramente, el curso A tiene una dispersión menor que el B, pese a presentar una mayor desviación estándar.

17 Cuando los datos están agrupados en tablas de frecuencias, el significado de las medidas de dispersión es el mismo, sin embargo la manera de calcularlas es diferente. Enseguida se muestra la fórmula para la varianza, pero recuerda que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la primera. VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Datos agrupados) FÓRMULA Muestral Poblacional

18 Ejemplo 1. Se han registrado durante 20 días, el número de viajeros que hacen reservaciones a una agencia de viajes pero que no las hacen efectivas: Calcula las medidas de dispersión de la variable en estudio. Interpreta i Número de viajeros (x i ) Frecuencia (f i ) 1123 2133 3146 4153 5165 Total7020

19 Solución. Tal como lo indica la fórmula, primero es necesario multiplicar la variable (x i ) por la frecuencia (f i ) y añadirlo como una columna a la tabla. i Número de viajeros (x i ) Frecuencia (f i ) x i f i 112336 213339 314684 415345 516580 Total7020284

20 Solución (Continuación). Después se obtiene el cuadrado de la variable x, o sea, (x i ) 2. i Número de viajeros (x i ) Frecuenc ia (f i ) x i f i xi2xi2 112336144 213339169 314684196 415345225 516580256 Total7020284990

21 Solución (Continuación). Ahora se multiplica el cuadrado de la variable por la frecuencia, es decir, (f i x i 2 ). i Número de viajeros (x i ) Frecuencia (f i ) x i f i xi2xi2 fixi2fixi2 112336144432 213339169507 3146841961176 415345225675 5165802561280 Total70202849904070

22 Solución (Continuación). Una vez obtenidos todos los datos anteriores, se procede a aplicar la fórmula i Número de viajeros (x i ) Frecuencia (f i ) x i f i xi2xi2 fixi2fixi2 112336144432 213339169507 3146841961176 415345225675 5165802561280 Total70202849904070

23 Solución (Continuación). i Número de viajeros (x i ) Frecuencia (f i ) x i f i xi2xi2 fixi2fixi2 112336144432 213339169507 3146841961176 415345225675 5165802561280 Total70202849904070

24 Ejemplo 2. De acuerdo a la siguiente tabla, calcula la varianza y la desviación estándar: NOTA x FREC. ABSOLUTA f FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA % FREC RELATIVA ACUMULADA % 1.2110.1 1.4230.20.3 1.6360.30.6 1.88140.81.4 2.014281.42.8 2.218461.84.6 2.419651.96.5 2.622872.28.7 2.8251122.511.2 3.0261382.613.8 3.2271652.716.5 3.4311963.119.6 3.6352313.523.1 3.8382693.826.9 4.0453144.531.4 4.2463604.636.0 4.4484084.840.8 4.6524605.246.0 4.8585185.851.8 5.0605786.057.8 5.2566345.663.4 5.4546885.468.8 5.6517395.173.9 5.8507895.078.9 6.0468354.683.5 6.2448794.487.9 6.4409194.091.9 6.6329513.295.1 6.8319823.198.2 7.01810001.8100 TOTAL1000471723970.12

25 Solución. El primer paso es calcular x i f i : NOTA x FREC. ABSOLUTA f FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA % FREC RELATIVA ACUMULADA % x i f i 1.2110.1 1.2 1.4230.20.3 2.8 1.6360.30.6 4.8 1.88140.81.4 14.4 2.014281.42.8 28 2.218461.84.6 39.6 2.419651.96.5 45.6 2.622872.28.7 57.2 2.8251122.511.2 70 3.0261382.613.8 78 3.2271652.716.5 86.4 3.4311963.119.6 105.4 3.6352313.523.1 126 3.8382693.826.9 144.4 4.0453144.531.4 180 4.2463604.636.0 193.2 4.4484084.840.8 211.2 4.6524605.246.0 239.2 4.8585185.851.8 278.4 5.0605786.057.8 300 5.2566345.663.4 291.2 5.4546885.468.8 291.6 5.6517395.173.9 285.6 5.8507895.078.9 290 6.0468354.683.5 276 6.2448794.487.9 272.8 6.4409194.091.9 256 6.6329513.295.1 211.2 6.8319823.198.2 210.8 7.01810001.8100 126 TOTAL1000471723970.12

26 Solución (Continuación). Después se obtiene el cuadrado de la variable x, o sea, (x i ) 2. NOTA x FREC. ABSOLUTA f FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA % FREC RELATIVA ACUMULADA % x i f i xi2xi2 1.2110.1 1.21.44 1.4230.20.3 2.81.96 1.6360.30.6 4.82.56 1.88140.81.4 14.43.24 2.014281.42.8 284 2.218461.84.6 39.64.84 2.419651.96.5 45.65.76 2.622872.28.7 57.26.76 2.8251122.511.2 707.84 3.0261382.613.8 789 3.2271652.716.5 86.410.24 3.4311963.119.6 105.411.56 3.6352313.523.1 12612.96 3.8382693.826.9 144.414.44 4.0453144.531.4 18016 4.2463604.636.0 193.217.64 4.4484084.840.8 211.219.36 4.6524605.246.0 239.221.16 4.8585185.851.8 278.423.04 5.0605786.057.8 30025 5.2566345.663.4 291.227.04 5.4546885.468.8 291.629.16 5.6517395.173.9 285.631.36 5.8507895.078.9 29033.64 6.0468354.683.5 27636 6.2448794.487.9 272.838.44 6.4409194.091.9 25640.96 6.6329513.295.1 211.243.56 6.8319823.198.2 210.846.24 7.01810001.8100 12649 TOTAL1000471723970.12

27 Solución (Continuación). Ahora se multiplica el cuadrado de la variable por la frecuencia, es decir, (f i x i 2 ). NOTA x FREC. ABSOLUTA f FREC. ABSOLUTA ACUMULADA FREC. RELATIVA % FREC RELATIVA ACUMULADA % x i f i xi2xi2 fixi2fixi2 1.2110.1 1.21.44 1.4230.20.3 2.81.963.92 1.6360.30.6 4.82.567.68 1.88140.81.4 14.43.2425.92 2.014281.42.8 28456 2.218461.84.6 39.64.8487.12 2.419651.96.5 45.65.76109.44 2.622872.28.7 57.26.76148.72 2.8251122.511.2 707.84196 3.0261382.613.8 789234 3.2271652.716.5 86.410.24276.48 3.4311963.119.6 105.411.56358.36 3.6352313.523.1 12612.96453.6 3.8382693.826.9 144.414.44548.72 4.0453144.531.4 18016720 4.2463604.636.0 193.217.64811.44 4.4484084.840.8 211.219.36929.28 4.6524605.246.0 239.221.161100.32 4.8585185.851.8 278.423.041336.32 5.0605786.057.8 300251500 5.2566345.663.4 291.227.041514.24 5.4546885.468.8 291.629.161574.64 5.6517395.173.9 285.631.361599.36 5.8507895.078.9 29033.641682 6.0468354.683.5 276361656 6.2448794.487.9 272.838.441691.36 6.4409194.091.9 25640.961638.4 6.6329513.295.1 211.243.561393.92 6.8319823.198.2 210.846.241433.44 7.01810001.8100 12649882 TOTAL 1000471723970.12 4717 23970.12

28 Solución (Continuación). Una vez obtenidos todos los datos anteriores, se procede a aplicar la fórmula Varianza Desviación estándar

29 Fuentes de información  http://medicina.unimayab.edu.mx/propedeutico/2009/semana1/chpt04.ppt. http://medicina.unimayab.edu.mx/propedeutico/2009/semana1/chpt04.ppt  http://beta.upc.edu.pe/matematica/mbcc/paginas/recursos/semana14/Clase01_Seman a14.ppt http://beta.upc.edu.pe/matematica/mbcc/paginas/recursos/semana14/Clase01_Seman a14.ppt  http://www.demre.cl/text/doc_tecnicos/p2009/estadistica_descriptiva.pdf http://www.demre.cl/text/doc_tecnicos/p2009/estadistica_descriptiva.pdf  http://www.cgonzalez.cl/archivos/estadistica2.ppt. http://www.cgonzalez.cl/archivos/estadistica2.ppt  http://repositorio.utpl.edu.ec/bitstream/123456789/3013/1/estadisticasegundobimestre- 090305174953-phpapp02.ppt. http://repositorio.utpl.edu.ec/bitstream/123456789/3013/1/estadisticasegundobimestre- 090305174953-phpapp02.ppt  netdrive.puiying.edu.hk/~ms/f7it/MATHS.PPT