Editorial Matemática Estrategias para enfrentar las clases del eje “Datos y Azar”

Determinar cantidad de muestras
Don Pedro quiere diseñar un pack que contenga 2 productos distintos entre un paquete de fideos, una salsa de tomate, un paquete de queso parmesano y una bandeja de carne. Para ello, empieza a realizar las combinaciones posibles en un papel. ¿Qué piensas acerca de las combinaciones listadas por don Pedro? ¿Son todas las posibles? Reflexiona Fideos y salsa Fideos y queso Queso y carne Salsa y queso ¿Cómo podrías determinar la cantidad de packs distintos que don Pedro podría formar sin la necesidad de listarlos? ¿Hay alguna técnica que te ayude a determinarlo? Reflexiona

Supongamos que don Pedro ahora cuenta con 12 productos diferentes y quiere hacer packs con tres de ellos, sin que un producto se repita en un mismo pack. ¿Cuántos packs diferentes podría formar? Reflexiona ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una situación idéntica a la anterior, pero contextualizada de manera diferente? A) ¿Cuántas muestras de tamaño 3, con reposición, pueden formarse a partir de una población de 12 elementos idénticos? B) ¿Cuántas muestras de tamaño 3, sin reposición, pueden formarse a partir de una población de 12 elementos idénticos? C) ¿Cuántas muestras de tamaño 3, sin reposición, pueden formarse a partir de una población de 12 elementos distintos?

Se llama muestreo aleatorio simple cuando se extrae una muestra de un población completamente al azar, y cada elemento de esta tiene la misma probabilidad de ser escogidos. Para determinar el número total de muestras extraídas son muy útiles las técnicas de combinatorias. Mediante el muestreo es posible inferir respecto al comportamiento de una población. Conclusiones

¿Qué técnica combinatoria es la más adecuada para resolver problema? Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2017

Relación promedio medias muestrales y media poblacional
Gonzalo, Pedro, Juan y Mario son cuatro amigos lectores de historietas de súper héroes y deciden realizar una colección entre todos. Cada uno aporta una cantidad diferente de historietas a la colección, de manera que la media entre los aportes de Gonzalo, Pedro y Juan es 7. la media entre los aportes de Pedro, Juan y Mario es 11. la media entre los aportes de Gonzalo, Pedro y Mario es 8. la media entre los aportes de Gonzalo, Juan y Mario es 10. ¿Cuál es el promedio entre las medias muestrales presentadas anteriormente? Reflexiona ¿A partir de qué se calcularon las medias presentadas anteriormente? A) A partir de todas las muestras de tamaño 3, sin reposición, que pueden extraerse a partir de los aportes de los cuatro amigos. B) A partir de todas las muestras de tamaño 3, con reposición, que pueden extraerse a partir de los aportes de los cuatro amigos. C) A partir de algunas de las muestras de tamaño 3, sin reposición, que pueden extraerse a partir de los aportes de los cuatro amigos. Reflexiona

la media entre los aportes de Gonzalo, Pedro y Juan es 7. la media entre los aportes de Pedro, Juan y Mario es 11. la media entre los aportes de Gonzalo, Pedro y Mario es 8. la media entre los aportes de Gonzalo, Juan y Mario es 10. Si finalmente se averigua que Gonzalo aportó con 3 historietas, Pedro con 6, Juan con 12 y Mario con 15, ¿cuál sería la media de los aportes? Reflexiona ¿En cuál de los siguientes casos se puede calcular en forma exacta el promedio de una población? A) Si se conocen las medias de algunas muestras de un determinado tamaño. B) Si se conocen las medias de todas las muestras de un determinado tamaño. C) Si se conocen las medias de algunas muestras de distintos tamaños.

Al extraer muestras aleatorias de una población, bajo ciertas condiciones, se puede inferir acerca de la media poblacional (promedio de la población) a partir de las medias muestrales. Si de una población se extraen todas las muestras posibles de igual tamaño, el promedio entre todas estas medias muestrales es igual a la media poblacional. Conclusiones

¿Por qué en este caso sí es posible determinar la media poblacional a partir de medias muestrales? Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2016

Función de Probabilidad
¿Cómo se pueden relacionar los conceptos de función y de probabilidad? José lanza 4 monedas simultáneamente y define la variable aleatoria X como la cantidad de sellos obtenidos. ¿Qué entiendes por variable aleatoria? A) Es una función que asigna un valor real a cada elemento del espacio muestral de un experimento aleatorio. B) Es un experimento aleatorio donde la suma de las probabilidades de todos los eventos posibles es 1. C) Es una variable que se asigna solo a experimentos dicotómicos, es decir, que tienen dos casos posibles: éxito o fracaso. Reflexiona ¿Cuántos elementos tiene el dominio de la variable aleatoria X? A) 8 B) 16 C) 32 ¿Cuál es el recorrido de la variable aleatoria X? A) {1, 2, 3, 4} B) {0, 1, 2, 3, 4} C) {1, 2, 3, 4,…,14, 15, 16}

Completando las siguientes probabilidades: P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = 0,375 0,25 0,0625 P(X=x) X ¿Qué se entiende por P(X = 2)? A) La probabilidad de que la variable aleatoria tome exactamente el valor 2. B) La probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor mayor o igual que 2. C) La probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que 2. Reflexiona

Mario tiene una baraja con 5 cartas, todas de igual forma y tamaño, y de ellas 3 corresponden a la pinta diamante. Un experimento consiste en extraer dos cartas al azar de la baraja, una tras otra y con reposición, y se define la variable aleatoria X como el número de diamantes extraídos. ¿Cuál es el gráfico de la función de probabilidad de X? Indica el orden de los pasos a seguir para resolver el problema anterior. Luego, desarrolla el problema. a) Calcular la probabilidad asociada a cada valor de X. (3) b) Definir los valores posibles de X. (2) c) Realizar el gráfico de función de probabilidad de X. (4) d) Determinar los casos posibles del experimento. (1) Reflexiona

Mario tiene una baraja con 5 cartas, todas de igual forma y tamaño, y de ellas 3 corresponden a la pinta diamante. Un experimento consiste en extraer dos cartas al azar de la baraja, una tras otra y con reposición, y se define la variable aleatoria X como el número de diamantes extraídos. ¿Cuál es el gráfico de la función de probabilidad de X? Comprendiendo el problema: ¿Qué situaciones son posibles dentro del experimento? 1) ¿Es posible que en las dos extracciones no salga ningún diamante? (ND, ND) 2) ¿Es posible que en las dos extracciones salga solo un diamante? Si es así, ¿cómo influye el orden en el que se extrae? (D, ND) (ND, D) 3) ¿Es posible que en las dos extracciones salgan dos diamantes? Si es así, ¿cómo influye el orden en el que se extraen? (D, D) 4) Definido lo anterior, ¿cuál es el dominio y el recorrido de la variable aleatoria X? Dom(X) = {(ND, ND), (D, ND), (ND, D), (D, D)} Rec(X) = {0, 1, 2} Reflexiona

Mario tiene una baraja con 5 cartas, todas de igual forma y tamaño, y de ellas 3 corresponden a la pinta diamante. Un experimento consiste en extraer dos cartas al azar de la baraja, una tras otra y con reposición, y se define la variable aleatoria X como el número de diamantes extraídos. ¿Cuál es el gráfico de la función de probabilidad de X? Elaborando un plan: ○ ¿Qué se debe calcular para cada valor de X? ¿Qué tipo de probabilidad es la más conveniente en este caso para determinar los valores de X? (Suma de probabilidades, producto de probabilidades, probabilidad condicional…) Se debe calcular la probabilidad asociada. En este caso corresponde el producto de probabilidades. ○ ¿Cómo construyo el gráfico? Asociando cada valor de X con su probabilidad. Ejecutando el plan: Desarrollar los cálculos según la estrategia anterior. Evaluando lo respondido: Si construyes un gráfico de probabilidad, ¿cuánto deben sumar todos los valores del recorrido? Deben sumar 1, ya que todos los casos completan 100%. Reflexiona

Una variable aleatoria asigna valores a los elementos del espacio muestral de un experimento aleatorio. El recorrido de la variable aleatoria es igual al dominio de la función de probabilidad asociada a esta variable. La función de probabilidad asociada a una variable aleatoria relaciona a cada valor que toma la variable con la probabilidad de que esta ocurra en un determinado experimento aleatorio. La suma de todas las imágenes en una función de probabilidad siempre es igual a uno. Cada función de probabilidad tiene asociada una función de distribución (función de probabilidad acumulada). El valor que toma la función de distribución para un determinado valor de la variable aleatoria es igual a la suma de todas las imágenes de la función de probabilidad que toman los valores menores o iguales al evaluado en la función de distribución. Conclusiones

Si k es una constante, ¿cómo podemos determinar su valor? Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2017

Función de densidad 1 4 7 2k f(x) X
En los casos anteriores, la función de probabilidad está asociada a una variable discreta. En el caso de una variable continua, la función de probabilidad pasa a llamarse función densidad de probabilidad, en donde se deben calcular áreas bajo curvas (igual que en la distribución normal). En estos casos, no se determina la probabilidad de que la variable aleatoria tome un cierto valor, sino la probabilidad de que se encuentre dentro de un cierto intervalo. 1 4 7 2k f(x) X En el gráfico adjunto, X es una variable aleatoria continua definida en el intervalo [0, 7] con función de densidad f. En base a ello: ¿Cuál debe ser el valor del área en el intervalo [0, 7] ? 1 ¿Cómo se puede plantear el área en los intervalos [0, 1], [1, 4] y [4, 7]? k, 6k y 3k ¿Cómo se puede despejar el valor de k? 10k = 1  k = 0,1 ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor entre 1 y 7? 6k + 3k = 9k = 9·0,1 = 0,9 Reflexiona

Función de densidad Conclusiones
Cuando una muestra estadística no agrupada es muy grande, y la variable estadística es continua, es mucho más conveniente representar la distribución de frecuencias relativas mediante una función de densidad. Al representar gráficamente una función de densidad, el área bajo la curva siempre debe ser igual a uno, ya que bajo esta se encuentra el 100% de los datos. Si se quiere conocer el porcentaje de los datos que se encuentran en un determinado intervalo de la población, basta con calcular el área bajo la curva en dicho intervalo. Este porcentaje está asociado a la probabilidad de obtener al azar un elemento de la población que se encuentre en este intervalo. La probabilidad de tomar un elemento puntual de la población es 0. Conclusiones

Función de densidad ¿Qué se obtiene al graficar esta función en el dominio mencionado? ¿Cómo se obtiene el valor de k utilizando la gráfica de esta función? Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2017

Distribución Normal Cuando una distribución es normal cumple con la condición de que la media, la mediana y la moda son coincidentes, es decir, la distribución es simétrica respecto a la media. Una distribución normal tipificada es aquella en que la media es 0 y la desviación estándar es 1. En base a lo estudiado, ¿cuáles de las siguientes variables piensas que se comportan normalmente? 1) La estatura de las personas de sexo femenino de Chile. 2) El sueldo que ganan los empleados de una empresa de retail. 3) La cantidad de caras al lanzar una moneda veces. 4) La masa de lechugas producidas en un huerto. Reflexiona

Distribución Normal ① ② ③ = – ④ ⑤ ⑥ = –
Gracias a la distribución normal tipificada se pueden simplificar ciertos cálculos de variables que se distribuyen normalmente de forma no tipificada (media distinta de cero y varianza distinta de uno) mediante una transformación de variables y el uso de tablas. Es mucho más sencillo resolver algunos de estos problemas mediante la realización de gráficos, con objeto de mejorar su comprensión. Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada, ¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)? - 1 2,17 ① 2,17 ② - 1 ③ = – - 1 ④ ⑤ 1 ⑥ = –

Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada, ¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)? - 1 2,17 ① 2,17 ② - 1 ③ = – - 1 ④ ⑤ 1 ⑥ = – ¿Qué representa el gráfico ①? A) La probabilidad de que X sea mayor o igual que 2, 17 o menor o igual que – 1. B) La probabilidad de que X esté entre – 1 y 2,17, incluyendo ambos valores. C) La probabilidad de que X sea mayor o igual que – 1. Reflexiona

Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada, ¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)? - 1 2,17 ① 2,17 ② - 1 ③ = – - 1 ④ ⑤ 1 ⑥ = – ¿Qué representa el gráfico ②? A) La probabilidad de que X sea mayor o igual que 2,17. B) La probabilidad de que X sea menor o igual que 2,17. C) La probabilidad de que X sea mayor o igual que – 1. Reflexiona

Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada, ¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)? - 1 2,17 ① 2,17 ② - 1 ③ = – - 1 ④ ⑤ 1 ⑥ = – El gráfico ③ puede descomponerse como se presenta en ④. ¿Por qué se puede realizar esta descomposición? A) Porque no existen valores para X ≤ 0. B) Porque el valor de P(X ≤ – 1) es igual al valor de P(X ≤ 1) . C) Por simetría de la distribución normal. Reflexiona

Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada, ¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)? - 1 2,17 ① 2,17 ② - 1 ③ = – - 1 ④ ⑤ 1 ⑥ = – ¿Qué gráfico representa la segunda línea de la tabla de probabilidad acumulada adjunta? A) ③ B) ⑤ C) ② Reflexiona z P(Z ≤ z) 1,00 0,841 2,17 0,985

Si X es una variable aleatoria continua que se ajusta a una distribución normal tipificada, ¿cuál es el valor de P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)? - 1 2,17 ① 2,17 ② - 1 ③ = – - 1 ④ ⑤ 1 ⑥ = – ¿Cuál es el valor para P (– 1 ≤ X ≤ 2,17)? A) 0,144 B) 0,826 C) 0,856 Reflexiona z P(Z ≤ z) 1,00 0,841 2,17 0,985

Distribución Normal Conclusiones
Una herramienta útil es expresar los problemas de cálculo de probabilidad de distribución normal mediante gráficos con objeto de facilitar su comprensión. El área bajo la curva de una distribución normal es uno, ya que corresponde a una función de densidad La distribución normal es simétrica respecto a la media de la población, y entre mayor desviación estándar, mayor es el “ancho” de la curva (distancia entre dos puntos simétricos). Si la distribución es normal tipificada, la media es cero y su desviación estándar es uno, y se denota X ~ N(0, 1). En la PSU se dispone de una tabla de datos para algunos valores de la distribución normal tipificada. Si una variable aleatoria X se distribuye de manera normal, con media µ y desviación estándar σ, X ~ N(µ, σ), se puede tipificar usando una variable Z que de distribuya de manera normal tipificada, mediante la expresión: Conclusiones

Distribución Normal En este caso no se conoce la media ni la varianza. ¿Cómo se obtiene el valor solicitado? Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2016

Distribución Normal ¿Cómo se puede identificar la variable aleatoria que se distribuye de manera normal tipificada? Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2017

Intervalos de Confianza
Una fábrica diseña clavos de un cierto largo, una farmacéutica elabora un medicamento con una determinada concentración de un principio activo y un agricultor cosecha tomates en su predio, ¿qué tendrán en común estas tres situaciones con la estadística? Pues que en las tres la población es muy grande, por lo cual solo se la puede estudiar en base a una muestra de ella. Por ejemplo, con un cierto nivel de confianza, se puede estimar que la media se va a encontrar dentro de un cierto intervalo de confianza. ¿Qué es un intervalo de confianza? Es el intervalo donde siempre se encuentra la media de la población. Es el intervalo donde se encuentra la desviación estándar de la población. Es el intervalo donde se encuentra algún parámetro de la población, con un cierto porcentaje de seguridad. Reflexiona

Para determinar el intervalo de confianza donde se encuentra la media de la población es: Donde n es la cantidad de datos de la muestra, σ es la desviación estándar de la población, x es la media muestral y z(1 – α/2) es el coeficiente asociado al nivel de confianza. Se estudia el mismo parámetro en dos poblaciones P1 y P2, cuyas desviaciones estándar son σ1 y σ2, tal que σ1 < σ2 . Se desea determinar un intervalo de confianza para estimar la media en cada una de ellas, con el mismo nivel de confianza, y para ello se extrae en cada una de ellas una muestra de tamaño n cuya media muestral es x. En relación a lo anterior, es cierto que El rango del intervalo de confianza para P1 es mayor que para P2. El rango del intervalo de confianza para P1 es menor que para P2. Ambos intervalos de confianza tienen el mismo rango. Reflexiona

Para determinar el intervalo de confianza donde se encuentra la población es: Donde n es la cantidad de datos de la muestra, σ es la desviación estándar de la población, x es la media muestral y z(1 – α/2) es el coeficiente asociado al nivel de confianza. Pedro y Alberto son dos investigadores que desean determinar un intervalo de confianza para la media de la masa de los tomates producidos en un huerto. Para ello, Pedro escoge una muestra de tamaño 100 y Alberto una muestra de tamaño 200, ambas con igual media muestral. Si ambos trabajan con la misma desviación estándar poblacional y con un mismo nivel de confianza, posible afirmar que El intervalo de confianza de Alberto tendrá un mayor rango que el de Pedro. El intervalo de confianza de Alberto tendrá un menor rango que el de Pedro. Ambos intervalos de confianza tendrán el mismo rango. Reflexiona

Para determinar el intervalo de confianza donde se encuentra la población es: Donde n es la cantidad de datos de la muestra, σ es la desviación estándar de la población, x es la media muestral y z(1 – α/2) es el coeficiente asociado al nivel de confianza. María y Camila deben analizar el largo de los clavos producidos por dos máquinas. María trabaja con un nivel de confianza del 90%, en tanto que Camila trabaja con un nivel de confianza del 95%. Ambas trabajan con la misma desviación poblacional, con el mismo tamaño de muestra y por coincidencia obtuvieron la misma media muestral. En relación a la situación anterior, es FALSO afirmar que El error estándar es distinto en ambos casos. El intervalo de confianza de Camila es más acotado que el de María. El coeficiente asociado al nivel de confianza es distinto en ambos casos. Reflexiona

Un intervalo de confianza determina un rango dentro del cual, con un cierto nivel de confianza, se encuentra el valor de la media de la población. Si de una población, que bajo una cierta variable tiene un comportamiento normal con media μ y desviación estándar σ, se extrae una muestra de n elementos, donde el promedio de la muestra es , entonces el intervalo de confianza para μ, con un nivel de confianza (1 – α), es [ – E, E]. E es el error, y se determina con la fórmula Conclusiones

Si Z es una variable aleatoria con distribución normal tipificada, ¿qué valor de Z está asociado a este nivel de confianza? Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2016

Distribución Binomial
“Si se lanza una moneda 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?”. Durante el curso, en más de una ocasión te has enfrentado a preguntas como esta. Es común que en su desarrollo ocuparas técnicas como el triángulo de Pascal. En algunas ocasiones presentadas de otra forma. La situación anterior corresponde a un experimento dicotómico, es decir, que tiene dos opciones: cara o sello. Este concepto es aplicable a otros casos donde un experimento puede ser un éxito o un fracaso, una pregunta en una prueba puede ser correcta o incorrecta, o una afirmación que puede ser verdadera o falsa. Respecto a la situación anterior, utilizando el triángulo de Pascal, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? Hay 2 casos en los que los cuatros lanzamientos tienen el mismo resultado. En 4 casos se obtienen exactamente 3 caras. En 4 casos se obtienen tres o más sellos. Reflexiona

Para la situación anterior puede determinarse mediante una distribución binomial de la forma: Donde X corresponde a la variable aleatoria, k a la cantidad de éxitos esperada, n el número de ensayos, p la probabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso (q = 1 – p). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones corresponde a una condición que no es obligatoria en una distribución binomial? El experimento debe ser dicotómico. Los experimentos deben ser independientes entre sí. El número de experimentos debe ser mayor que 10. Reflexiona

La distribución binomial es fácilmente comprensible si se conoce su procedencia. Volviendo al caso del lanzamiento de una moneda cuatro veces seguidas, se define la variable aleatoria X como el número de caras obtenido y se pedía calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 caras. Según los parámetros de la distribución binomial aplicados a la situación anterior, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? n = 4 p ≠ q k = 3 Reflexiona

La distribución binomial es fácilmente comprensible si se conoce su procedencia. Volviendo al caso del lanzamiento de una moneda cuatro veces seguidas, se define la variable aleatoria X como el número de caras obtenido y se pedía calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 caras. De antemano, se sabe que son 4 casos favorables, {C, C, C, S}, {C, C, S, C}, {C, S, C, C} y {S, C, C, C}, entre 16 casos posibles, por ende, la probabilidad de P(X = 3) = . Luego, según la binomial: Corresponde a la cantidad de los distintos resultados que incluyen 3 caras en un total de cuatro lanzamientos Corresponde al calculo de la probabilidad de obtener 3 caras en un solo caso, por principio multiplicativo

Con lo anterior, podemos comprender el cálculo como Obtener 3 caras en 4 lanzamientos: Pero este resultado solo corresponde al evento {C, C, C, S}. Es por ello que se multiplica por la combinación para considerar todos los casos en donde se tienen 3 caras dentro de los 4 lanzamientos. Una variable aleatoria X se distribuye de forma binomial y se tiene que Es correcto afirmar que El experimento se realiza 10 veces. La probabilidad de éxito es un 25% Hay 4 casos en que la variable aleatoria toma el valor 4. Reflexiona

La aplicación más importante de la distribución binomial es que simplifica los cálculos para valores de n muy grandes. Sin embargo, en algunas ocasiones este cálculo también puede resultar demasiado largo, como en la situación: “Para el lanzamiento de un dado común se define la variable aleatoria X como obtener un número múltiplo de 3. ¿cuál es la probabilidad de que en lanzamientos se obtengan o menos veces un número múltiplo de 3?” El desarrollo de esta expresión sería: P(X ≤ ) = P (X = 1) + P (X = 2) + … + P(X =15.163) + P (X = ) El cálculo es muy extenso, como podrás ver, sin embargo, es posible determinarlo mediante otro procedimiento…

Es posible obtener una buena aproximación para determinar la probabilidad de una distribución binomial a través de una normal, si se cumple que: n ∙ p > 5 ; n(1 – p) > 5, con ello B(n, p) ~ N(np, ) Donde la media poblacional es µ = np y la desviación estándar es σ = Luego, para el caso estudio: “Para el lanzamiento de un dado común se define la variable aleatoria X como obtener un número múltiplo de 3. ¿cuál es la probabilidad de que en lanzamientos se obtengan o menos veces un número múltiplo de 3?” Pasos a seguir: Identificar n y p. Determinar µ y σ. Determinar el valor de Z, según el cambio de variable Buscar la probabilidad asociada al valor de Z y responder la pregunta planteada. Reflexiona

Si un experimento aleatorio tiene dos posibles resultados (éxito o fracaso), donde la probabilidad que ocurra ambos eventos es constante, entonces la variable aleatoria asociada al experimento se distribuye binomialmente. Si n es el número de repeticiones y p es la probabilidad de éxito, entonces la notación de esta distribución es X ~ B(n, p). Para determinar la probabilidad de que la variable aleatoria tome un determinado valor en una distribución binomial, se utiliza la fórmula Donde k es el número de éxitos deseados, n es el número de repeticiones, p es la probabilidad de éxito y q es la probabilidad de fracaso. Entre más veces se repite un experimento de Bernoulli (dicotómico), más se aproxima a una distribución normal, siendo la media de esta aproximación igual a n·p y la desviación estándar es igual a Es decir, X ~ B(n, p) se aproxima a X ~ N(n·p, ) Conclusiones

Para este experimento, ¿cuál es la probabilidad de éxito de la variable aleatoria? Si preguntan por P(X > 1), ¿por qué es más conveniente calcular P(X = 1)? Fuente: DEMRE. Modelo PSU Matemática 2017

MAPA DE RELACIÓN ENTRE CONTENIDOS DE DATOS Y AZAR
Anexo MAPA DE RELACIÓN ENTRE CONTENIDOS DE DATOS Y AZAR

Datos no tabulados (Básico) Medidas de dispersión (II Medio)
Análisis medidas de dispersión Datos tabulados no agrupados (Básico) Manejo de datos Análisis, tendencia central y posición en tablas y gráficos Cálculo dispersión no tabulados y tabulados Datos agrupados en intervalos (I Medio) Datos Inferir media de población a partir de media de muestras (II Medio) Media pob dada media muestras Distribuciones estadísticas y distribución normal (IV Medio) Tipificación, gráfico e intervalo de confianza Análisis de variable estadística Relación media poblac/muestras Muestreo aleatorio simple (I Medio) Probabilidad distrib normal Determinar cantidad de muestras Análisis de variable aleatoria continua (IV Medio) Función y gráfico variable continua Combinatoria Aproximación binomial/normal Análisis de variable aleatoria Variable aleatoria y ley de los grandes números (II Medio) Variable aleatoria Azar Técnicas combinatorias y regla de Laplace (I Medio) Cálculo de probabilidades Ley de los grandes números Análisis de variable aleatoria discreta (III Medio) Distribución binomial Probabilidad condicional (III Medio) Propiedades de la suma y el producto de probabilidades(II Medio) Regla de Laplace Probabilidad condicional Suma y producto de probabilidades Uso triángulo de Pascal Cálculo de esperanza Gráfico asociado a v.a.discreta Función de probabilidad y distribución

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