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PPTCES044MT22-A16V1 Rectas en el espacio MT-22

Recordemos… -Si se conocen las ecuaciones de dos rectas, ¿cómo se determina el punto de intersección entre ellas? -¿Cuándo dos rectas son coincidentes? Resumen de la clase anterior

Aprendizajes esperados Comprender qué puntos y rectas pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta en el espacio.

Pregunta oficial PSU Dado el triángulo de vértices A(3, 0, 0), B(  1, 4, 0) y C(  1, 1, 3), ¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a una ecuación de la recta que pasa por el vértice C y por el punto medio de AB ? A) B) C) D) E) Ninguna de las anteriores. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión ¿Por qué estos puntos tienen tres coordenadas? ¿Cómo se llama el segmento de un triángulo que va desde uno de los vértices al punto medio del lado opuesto al vértice?

1.Puntos en el espacio. 2.Ecuación de la recta en el espacio.

1. Puntos en el espacio El espacio está definido por un sistema de coordenadas tridimensional que se construye trazando un eje z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes x e y. x y z Eje de las cotas Eje de las ordenadas Eje de las abscisas P(x, y, z) 1.1 El espacio x y z Plano XY Plano XZ Plano YZ Los ejes determinan tres planos, el plano XY, el plano XZ y el plano YZ. Para ubicar un punto (x, y, z), podemos hacerlo ubicando primero su proyección en el plano XY, (x, y, 0), y luego moverlo verticalmente en el eje Z..

1.2 Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos en el espacio se obtiene de una forma muy similar al plano. 1. Puntos en el espacio 1.3 Punto medio el punto medio del segmento AB es

1.4 Ejemplo ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 2 y 12 de tu guía. ALTERNATIVA CORRECTA C Más información en las páginas 108 y 109 de tu libro. 1. Puntos en el espacio Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión ¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre la distancia entre un punto P(a, b, c) y su simétrico con respecto al eje x? A) 2a B) C) D) 4b 2 + 4c 2 E) 2b + 2c

(Con en los reales) 2. Ecuación de la recta en el espacio 2.1 Ecuación vectorial la ecuación vectorial de una recta que pasa por los puntos es El trío corresponde al vector director de la recta en el espacio. Determina la dirección de la recta que pasa por ambos puntos Ecuaciones paramétricas Igualando cada componente de la ecuación vectorial de la recta, se obtiene: (Con en los reales) 2.3 Ecuación continua Como es una constante real, entonces: También se puede determinar la ecuación vectorial de la recta en el plano dado dos puntos

(Con y en los reales) 2. Ecuación de la recta en el espacio 2.4 Posiciones relativas de rectas en el espacio Dadas las rectas: Entonces, serán: - coincidentes, si tienen al menos un punto en común y el vector director de L 1 se puede obtener como una ponderación del vector director de L 2, es decir, ( α algún valor real) - paralelas no coincidentes, si el vector director de L 1 se puede obtener como una ponderación del vector director de L 2, como en el caso anterior, pero sin puntos en común. - perpendiculares, si la suma del producto entre las coordenadas respectivas de los vectores directores es cero. Es decir,

2.4 Ejemplo ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 18 y 21 de tu guía. ALTERNATIVA CORRECTA E Más información en las páginas 110 y 111 de tu libro. 2. Ecuación de la recta en el espacio Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión En las opciones se muestran ecuaciones vectoriales, para t variando en los números reales, ¿en cuál de ellas la recta asociada NO pasa por el origen? A) v (t) = t(1, 2, 3) B) p (t) = (2, 4, 6) + t(1, 2, 3) C) g (t) = (– 3, 9, – 12) + t(1, – 3, 4) D) n (t) = (– 2, – 10, – 28) + t(1, 5, 14) E) m(t) = (2, 10, 21) + t(1, 5, 7)

Dado el triángulo de vértices A(3, 0, 0), B(  1, 4, 0) y C(  1, 1, 3), ¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a una ecuación de la recta que pasa por el vértice C y por el punto medio de AB ? A) B) C) D) E) Ninguna de las anteriores. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión Pregunta oficial PSU ALTERNATIVA CORRECTA A

Síntesis de la clase Recordemos… -¿Cómo se determina la distancia entre dos puntos en el espacio? -Dado dos puntos en el espacio, ¿cómo se obtiene una ecuación vectorial de la recta que los contenga?

Prepara tu próxima clase En la próxima sesión estudiaremos Planos en el espacio

Tabla de corrección NºClaveUnidad temáticaHabilidad 1 D Geometría analítica Comprensión 2 B Geometría analítica Comprensión 3 E Geometría analítica Comprensión 4 E Geometría analítica Comprensión 5 A Geometría analítica Comprensión 6 D Geometría analítica Comprensión 7 C Geometría analítica ASE 8 B Geometría analítica Comprensión 9 A Geometría analítica ASE 10 A Geometría analítica Aplicación 11 C Geometría analítica Aplicación 12 C Geometría analítica Aplicación

Tabla de corrección NºClaveUnidad temáticaHabilidad 13 E Geometría analítica ASE 14 C Geometría analítica ASE 15 D Geometría analítica Aplicación 16 E Geometría analítica ASE 17 C Geometría analítica Aplicación 18 A Geometría analítica Aplicación 19 E Geometría analítica ASE 20 C Geometría analítica Aplicación 21 D Geometría analítica Aplicación 22 C Geometría analítica Aplicación 23 A Geometría analítica Aplicación 24 D Geometría analítica ASE 25 B Geometría analítica ASE

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