Integral Definida y Cálculo de Áreas. Área encerrada por una parábola Definición del área encerrada por una función. Integrales y primitivas.

Cálculo de áreas 1 y=x2 Consideramos el problema de determinar el área encerrada por la gráfica de la función f(x)= x2 el eje X y las rectas x=0 y x=1. Determinaremos el área aproximando la región por rectángulos, cuya área es fácilmente computable. Cuanto más pequeña sea la base de estos rectángulos, más precisa será la aproximación. Finalmente, en el límite, obtendremos el área que estamos buscando. Cuanto mayor sea el número n de rectángulos que tomemos, mejor será la aproximación. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

Cálculo de áreas(2) Altura del rectángulo k. Base del rectángulo k. Si A es el área encerrada por la función, observamos que sn<A para todo n. Aprox. por defectosn Aprox. por exceso Sn Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

Cálculo de áreas(3) Fórmula de la suma Podemos calcular esto directamente usando la fórmula que vimos anteriormente para sumar cuadrados. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

Cálculo de áreas(4) y=x2 1 Conclusión y=x2 1 Conclusión El área que encierra la curva y=x2 y el eje X en el intervalo [0,1] es: A=1/3. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

Área encerrada bajo la gráfica de una función Las consideraciones anteriores estaban basadas en la idea intuitiva de lo que es el área encerrada por una función. Precisamos todo esto en el siguiente resultado, aunque no lo demostraremos. Sea , y k= 0,1, 2,…,n. Teorema Supongamos que f es continua en el intervalo [a,b]. Entonces: Definición Suponiendo que f(x) ≥ 0 para todo x, el resultado de estos límites es el área encerrada por la gráfica de la función en el intervalo [a,b]. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

La Integral (1) Teorema Supongamos que f es continua en el intervalo [a,b]. Entonces: Definición El resultado de estos límites es la integral de la función f en el intervalo [a,b]. Notation Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

La Integral (2) El resultado anterior muestra que, para funciones continuas, se tiene: Observación Eligiendo un punto cualquiera zk  [xk-1 , xk] para cada k=1,2,…,n, se verifica Esta es una observación importante, ya que nos permitirá aproximar numéricamente integrales que no podemos calcular de otra forma. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

Ejemplos (1) Ejemplo 1 Solución Por definición Ahora aplicamos la fórmula para la suma de cuadrados. Conclusión Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

Ejemplos (2) a b Ejemplo 2 Solución b Ejemplo 2 Solución El área roja bajo la gráfica de x2 en [a,b] equivale a calcular el área de [0,b] y restarle el área de [0,a]. Conclusión Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

Integrales y primitivas Expresando el resultado anterior de la siguiente forma: observamos que la integral define la función: Si derivamos se tiene : F’(x) = x2, por lo que la función F es una primitiva de la función f(x) = x2. Este método para calcular integrales usando la fórmula de la suma, se puede emplear para demostrar que, para cualquier polinomio p, la integral es una primitiva de p. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

Teorema Fundamental del Cálculo Si f una función continua entonces la función es una primitiva de la función f, es decir, F’(x) = f(x). Recíprocamente, si F es cualquier primitiva de f, En las siguientes secciones se hará una demostración de este resultado. Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä