Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

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1 Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.
Derivabilidad y diferenciabilidad Diferenciabilidad gráficamente Diferenciabilidad y continuidad Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

2 Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.
Hemos definido anteriormente la derivada de una función como el límite del promedio de cambio de la función. x0 x0+h f 0.77<x<1.27 Otra definición paralela se obtiene en la aproximación lineal de funciones. Si el error que se comete al aproximar una función es despreciable, podemos decir que la función es diferenciable. Se demuestra que estas dos definiciones definen el mismo concepto, es decir, que si f es derivable en un punto ,entonces en vista de la definición de arriba, es diferenciable y viceversa. Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

3 Derivabilidad y diferenciabilidad(1)
Definición 1 Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

4 Derivabilidad y diferenciabilidad(2)
Definición 2 Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

5 Derivabilidad y diferenciabilidad(3)
Observación Utilizando las notaciones y = f(x), ∆x = x – x0, ∆y = y – y0 = f(x) – f(x0), las condiciones que deben cumplir a y la función  se pueden escribir como ∆y = a∆x + ∆x (∆x ). Si (∆x )  0 cuando ∆x  0, entonces f es diferenciable en x = x0. Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

6 Derivabilidad y diferenciabilidad(4)
Teorema Una función f es diferenciable en x = x0 si y sólo si f es derivable en x = x0. La diferencial a de f en x = x0 es la derivada de f en x = x0. Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

7 Derivabilidad y diferenciabilidad(5)
Teorema La diferencial de f en x = x0 es igual a f’(x0). Demostración Partiendo de que y = f(x) es diferenciable en x = x0 y que la diferencial de f en x = x0 es a. Entonces, ∆y = a∆x + ∆x (∆x ) con (∆x )  0 cuando ∆x  0.  De ahí,  Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

8 Derivabilidad y diferenciabilidad (6)
La diferencial de f en x = x0 es igual a f’(x0). Teorema Demostración Partiendo de que y = f(x) es derivable en x = x0. Entonces Existiendo el límite y siendo finito.  La función  se define como (∆x ) = ∆y/ ∆x – f’(x0). Entonces ∆y = f’(x0)∆x + ∆x (∆x ) mediante la definición de , entonces (∆x )  0 cuando ∆x  0 ya que ∆y/ ∆x  f’(x0) cuando ∆x  0. Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

9 Aproximación lineal de funciones
El incremento ∆x (∆x ) como definición de diferenciabilidad es el error que se comete cuando se aproxima la gráfica de una función por su recta tangente. -1 < x < 2 0.5 < x < 1.5 0.9 < x < 1.1 Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

10 Diferenciabilidad y continuidad
Teorema Toda función diferenciable f es continua. Demostración Si f es diferenciable en x0, entonces f(x) – f(x0) = f’(x0)(x – x0) + (x – x0) (x – x0). Por tanto es decir, Por lo que f es continua en x = x0. Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

11 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä