FUNCIONES Una función es una aplicación entre dos conjuntos A y B, tal que a cada elemento de A (conjunto original) le corresponde un único elemento de B (conjunto final), de la siguiente forma: f: A B x y = f(x) y es la imagen por f de x x es la antiimagen de y por f El dominio de una función es el conjunto original de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el dominio es el subconjunto A C R formado por todos los elementos x que tienen imagen y = f(x). Dom f(x) = {x ∊ R | existe y = f(x) ∊ R } Dada una función, f, para cada valor x ∊ A, existe un único elemento y = f(x) ∊ B. La afirmación inversa no siempre es cierta. Si f: A B y A y B son subconjuntos de R, la función se denomina función real de variable real. El recorrido o imagen de una función es el conjunto imagen de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el recorrido o imagen es el subconjunto B C R formado por todos los elementos y para los cuales existe al menos un elemento x del dominio tal que f(x) = y, es decir, B = f(A). Rec f(x) = {y ∊ R | existe x ∊ Dom f(x) con f(x) = y}

CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Funciones polinómicas f(x) = p0 + p1x + p2x2 + … + pnxn Dom f(x) = R Funciones racionales f(x) = Dom f(x) = {x ∊ R | q(x) ≠ 0} Funciones irracionales f(x) = Si n es par Dom f(x) = {x ∊ R | g(x) ≥ 0} Si n es impar Dom f(x) = Dom g(x) n g ( x ) Funciones definidas a trozos Su expresión analítica es diferente para distintos valores reales. El dominio se determina uniendo los diferentes subconjuntos para los cuáles está definida. Ejemplo: dom f(x) = (-∞, 2] U (5, +∞)

CÁLCULO DEL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN Para calcular el recorrido de funciones podemos utilizar la gráfica y calcular la proyección sobre el eje de ordenadas. Rec f(x) = R – {0} Rec f(x) = (-∞, f(a)] Rec f(x) = [-1, 1] Rec f (x ) = { - 2 } U [ 1, 1 ] Rec f(x) = Z Rec f (x ) = ( - ∏ 2 ,

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (I) Signo de una función Se trata de determinar para qué valores de su dominio es f(x) > 0 y f(x) < 0. f(x) > 0 si su gráfica está situada por encima del eje de abscisas f(x) < 0 si su gráfica está situada por debajo del eje de abscisas ｷ Monotonía Es la variación de la función con respecto a la variable independiente x. f(x) es creciente en (a, b) si para cualquier x1, x2, con x2 > x1, se cumple que f(x2) ≥ f(x1). En caso de que f(x2) > f(x1), la función es estrictamente creciente. f(x) es decreciente en (a, b) si para cualquier x1, x2, con x2 > x1, se cumple que f(x2) ≤ f(x1). En caso de que f(x2) < f(x1), la función es estrictamente decreciente. Periodicidad Una función es periódica de periodo T si f(x) = f(x + T) con x Є Dom f

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (II) Simetrías Función par f(-x) = f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del eje de ordenadas Función impar f(-x) = - f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del origen de coordenadas Acotación Función acotada superiormente f(x) ≤ k con x Є Dom f ; k es una cota superior de la función Función acotada inferiormente f(x) ≥ k con x Є Dom f ; k es una cota inferior de la función Función acotada |f(x)| ≤ k, con k positivo (f acotada superior e inferiormente)

x f(x) g[f(x)] = (g ◦ f)(x) OPERACIONES CON FUNCIONES Adición de funciones (f + g)(x) = f(x) + g(x) Dom (f + g) = Dom f  Dom g Tiene la propiedad asociativa, conmutativa, elemento neutro f(x) = 0 y elemento opuesto –f División de funciones · Dom f g = { Do m  Dom } – x | ( x) ) Composición de funciones f compuesta de g (g ◦ f) x f(x) g[f(x)] = (g ◦ f)(x) Dom (g ◦ f) = Dom f  f-1 (Dom g) f g Resta de funciones (f - g)(x) = f(x) + g(x) Dom (f - g) = Dom f  Dom g Multiplicación de funciones (f · g)(x) = f(x) · g(x) Dom (f · g) = Dom f  Dom g Tiene la propiedad asociativa, conmutativa, elemento neutro f(x) = 1 (f1) y distributiva respecto de la adición [f · (g + h) = f · g + f · h] Potenciación de funciones (fg)(x) = [f(x)]g(x) donde f(x) > 0 con x Є Dom f Dom fg = Dom f  Dom g

Función inyectiva si y solo si, f(a) = f(b) a = b FUNCIÓN INVERSA Función inyectiva si y solo si, f(a) = f(b) a = b Dada una función inyectiva f(x), se denomina función inversa, f-1(x), a aquella que cumple lo siguiente: (f ◦ f-1)(x) = (f-1 ◦ f)(x) = x La función inversa de f es aquella que invierte (x, f(x)), es decir, a la imagen de x por f le hace corresponder de nuevo x. Función suprayectiva o exhaustiva si y solo si, su recorrido son todos los números reales [Rec f = R] Función biyectiva si y solo si es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo Cálculo de la función inversa El procedimiento es el siguiente: Se hace que f(x) = y Se intercambian x e y Se despeja y en función de x