PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013 SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Ángulo trigonométrico PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Ángulo trigonométrico: Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final. O: vértice A’ : Lado inicial A: lado final : medida del  AOA’ A’ A 

Ángulos Positivos: Si el rayo gira en sentido Antihorario. Los ángulos trigonométricos pueden ser positivos o negativos dependiendo esto el sentido de rotación que pueda tener. Ángulos Positivos: Si el rayo gira en sentido Antihorario. Ángulos Negativos: Si el rayo gira en sentido horario.  B A O  B A O

Ejemplo   = -x B x  O A Nótese en las figuras: • “  ” es un ángulo trigonométrico de medida positiva.   = -x • “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa.

Observación: a) Angulo nulo.- Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero. 0º b) Angulo de una vuelta.- Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez. -1V 1V

c) Magnitud de un ángulo Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo. -2V 3V El ángulo mide -2 vueltas El ángulo mide 3 vueltas

Ejercicios de aplicación 1) A partir del gráfico hallar “ x ”; OB es bisectriz C O A B (2x -15)º (6x -17)º C O A B (2x -15)º (6x -17)º Resolución 6x -17 = 15 – 2x De la figura se observa que el  COB es negativo ( giro horario), entonces cambiamos el sentido de giro y obtenemos: 6x + 2x= 15 + 17 8x = 32 x = 4

Resolución 2) De la figura; hallar “ x ” 3x + 20 – 10 + x = 90º De la figura se observa que el negativo (10 – x ) , entonces cambiamos el sentido de giro y obtenemos: ( x – 10) 4x = 80 x = 20

Resolución 3) De la figura; hallar “ x ” 60º x2 +17x +96=180º x2 +17x – 84 =0 De la figura se observa que el negativo x2 – 12x – 28 , entonces cambiamos el sentido de giro y obtenemos: -x2 + 12x +28 ( x+ 21 ) ( x – 4 ) = 0 x = 4 Resolución 2x2 +5x + 8 - x2 + 12x +28 + 60 = 180º

4) Del grafico mostrado, señalar la relación correcta la figura; hallar “ x ” b)  +  -  =720º c)  -  +  =720º d)  -  -  =720º e)  +  +  =360º    Resolución De la figura se observa que los ángulos  y  son positivos, mientras que  es negativo, entonces cambiamos el sentido de giro de  y tenemos

   De la figura se observa que los ángulos  +  -  es igual a dos vueltas  +  -  = 720º

Resolución 5) Del grafico se cumple que: 4 + 5x = 21º Calcular  + x B C O 5 4x A B C O 5 Entonces obtenemos un sistema de ecuaciones con dos variables Resolución De la figura se observa que el ángulos COB es negativo, entonces cambiamos su sentido de giro 4 + 5x = 21º 5 - 4x = 180º

Remplazamos en la primera ecuación para hallar x Resolución Remplazamos en la primera ecuación para hallar x 4 + 5x = 21º (4) 5 - 4x = 180º (5) 16 + 20x = 84º 25 - 20x = 900º 4 + 5x = 21º 4( 24) + 5x = 21 41 + 0 = 984º 96 + 5x = 21 41 = 984º 5x = -75  x = -15 Finalmente  + x = 24 – 15 = 9

Ejercicios propuestos 1) Hallar “x”; OB es bisectriz 2) Hallar “x”; si  DOA = 90º C O A B (4 – 3x )º 20º C O A B (5 – 8x)º (5x)º 30º D Rpta: x = 8 Rpta: x = 5

Ejercicios propuestos 3) Hallar x/y 4) Hallar “x” 5y – 2x A B C O 4x + 5y Rpta: 4/3 Rpta: x = 30