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PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS
ANGULOS TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS ABRAHAM GARCIA ROCA
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Medida del Angulo convexo
ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO: O A B LADO VÉRTICE Medida del Angulo convexo Medida del Angulo cóncavo
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CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO 0º < < 180º a.1) ÁNGULO AGUDO 0º < < 90º
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a.2) ÁNGULO RECTO = 90º a.3) ÁNGULO OBTUSO 90º < < 180º
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CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS = 90º b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS + = 180º
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CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS a) ÁNGULOS ADYACENTES Un lado común Puede formar más ángulos ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son congruentes
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ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
Y UNA RECTA SECANTE 1 2 3 4 5 6 7 8 01. Ángulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6 04. Ángulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180° 02. Ángulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8 05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7 03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180°
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PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas. x y + + = x + y
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02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
+ + + + = 180°
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03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
+ = 180°
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PROBLEMAS RESUELTOS
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90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X X = 90°
Problema Nº 01 El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. RESOLUCIÓN La estructura según el enunciado: 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 180° - X 90° - X 2 90° - X Desarrollando se obtiene: 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X Luego se reduce a: X = 90° 2X = 180°
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Problema Nº 02 La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. RESOLUCIÓN Sean los ángulos: y + = 80° = 80° - Dato: ( 1 ) Dato: ( 90° - ) = 2 ( 2 ) = 70° Resolviendo Reemplazando (1) en (2): = 10° Diferencia de las medidas ( 90° - ) = 2 ( 80° - ) - = 70°-10° = 60° 90° - = 160° -2
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Problema Nº 03 La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. RESOLUCIÓN Sean los ángulos: y Del enunciado: + = 50° (+) ( 90° - ) + ( 90° - ) = 130° - = 10° + = 50° ( 1 ) 2 = 60° Del enunciado: - ( 180° - ) ( 180° - ) = 10° = 30° - = 10° ( 2 ) = 20° Resolviendo: (1) y (2)
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Problema Nº 04 Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. RESOLUCIÓN De la figura: A B O C = 60° - 20° M = 40° 20° X Luego: 60° X = 40° - 20° X = 20°
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Problema Nº 05 La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. Del enunciado: RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado AOB - OBC = 30° A O B C Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica M ( + X) - ( - X) = 30º 2X=30º X (- X) X = 15°
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Problema Nº 06 Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la mAOC = mBOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado De la figura: A C M N B D 2 + = 90° ( + ) + 2 = 90° X 2 + 2 + 2 = 180° + + = 90° X = + + X = 90°
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Problema Nº 07 Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” 80° 30° X m n
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Propiedad del cuadrilátero
RESOLUCIÓN 80° 30° X m n Por la propiedad 80° = + + X (2) 2 + 2 = 80° + 30° Reemplazando (1) en (2) + = 55° (1) 80° = 55° + X Propiedad del cuadrilátero cóncavo X = 25°
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Problema Nº 08 Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X” 5 4 65° X m n
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RESOLUCIÓN 5 4 65° X m n 40° 65° Por la propiedad: Ángulo exterior del triángulo 4 + 5 = 90° X = 40° + 65° = 10° X = 105°
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Problema Nº 01 Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X” 2 x m n 2
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X = 60° 3 + 3 = 180° + = 60° X = + RESOLUCIÓN x x m 2 2
Ángulos conjugados internos Ángulos entre líneas poligonales 3 + 3 = 180° + = 60° X = 60° X = +
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PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS
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PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m x
4x 3x L1 L2 A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
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PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m x
30° X A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
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PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m
3 m n A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
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PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”
40° 95° 2x m n A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
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x PROBLEMA 05.- Calcule la m x 3 6
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
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4 4 PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m x m n X
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
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x PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m x m 88° 24° n
A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
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PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m x
20° 30° X m n A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
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PROBLEMA 09.-Si m//n y - = 80°. Calcule la mx
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
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x PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m x m n
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
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PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m m 2 180°-2 n
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
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PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m x
x 80° m n A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
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PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m x
80° m n x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
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REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
20º º 30º º 45º º 10º º 120º º 36º º 7. 32º
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