DIAGRAMAS POLARES CRITERIO DE NYQUIST CONTROL – VII SEMESTRE PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA UNIVERSIDAD DE NARIÑO DOCENTE: ING. CHRISTIAN VEGA CAICEDO

GRÁFICAS POLARES Es una representación de la magnitud y ángulo de fase de G(jω) en coordenadas polares al variar ω de cero a infinito. La función de transferencia senoidal puede expresarse como: Considerando la parte real e imaginaria:

GRÁFICAS POLARES Re Im

EJEMPLO Considere: La función de transferencia senoidal, sería: Separando parte real y parte imaginaria: Entonces para realizar la traza polar se evalúa para diferentes frecuencias.

Si entonces: Si CONSTRUCCIÓN DIAGRAMA POLAR Si

DIAGRAMA POLAR COMPLETO Se realiza una interpolación de los puntos obteniendo la gráfica polar. Re Im

MATLAB Obtener el diagrama de polar, para una función de transferencia dada >> num = [75]; >> den = [1 5]; >> g = tf(num,den) Transfer function: s + 5 >> nyquist(g) >> [RE IM] = nyquist(g,inf) RE = 0 IM = 0 Obtener coordenadas en el diagrama a partir de una frecuencia dada

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST En un sistema en lazo cerrado: Para la estabilidad las raíces del polinomio característico tienen que estar ubicadas en el semiplano complejo izquierdo. El criterio de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jω)H(jω) con el número de polos y ceros del polinomio característico que se encuentren el semiplano derecho de s. G(s) H(s) R(s) Y(s) + - Permite determinar gráficamente la estabilidad, sin necesidad de determinar los polos en lazo cerrado.

CONCEPTOS BÁSICOS Los polos de la función de transferencia en lazo cerrado son los ceros de la ecuación de característica Condiciones de Estabilidad Estabilidad en Lazo abierto: Un sistema es estable en lazo abierto si los polos de la función de transferencia G(s)H(s) están todos en el semiplano izquierdo del plano s. Estabilidad en Lazo Cerrado Un sistema se dice ser estable en lazo cerrado o simplemente estable si los polos dela función de transferencia en lazo cerrado, están el semiplano izquierdo del plan s.

ENCIERRO Un punto o una región en un plano de una función compleja se dice encerrado por una trayectoria cerrada si está dentro de la trayectoria. El punto A está dentro de la trayectoria cerrada Γ. El punto A está encerrado en dirección contraria a las manecillas del reloj. El punto B está fuera de la trayectoria cerrada B.

INCLUSIÓN Un punto o región se dice que está incluido por una trayectoria cerrada si está encerado en la dirección contraria a las manecillas del reloj, o el punto o región está a la izquierda de la trayectoria cuando ésta se recorre en la dirección prescrita. El punto A está incluido en la trayectoria Γ El punto A no está incluido en la trayectoria Γ

NÚMERO DE ENCIERROS N : veces que un punto está encerrado por Γ Se traza una flecha desde un punto a cualquier punto arbitrario S1. Se hace que la flecha gire conforme se recorre la trayectoria hasta volver a S1. La cantidad neta de vueltas que haya dado la flecha es N N es positivo para encierros CCW y negativo par CW. N =-1

NUMERO DE ENCIERROS N =-2

Sup onga que se quiere transformar una serie de valores de s en el plano s, donde todos ellos forman una trayectoria cerrada o contorno ( ), utilizando la función Plano s Plano F(s) Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene su representación en el plano F(s). Se evalúan todos los puntos del contorno y se obtiene un contorno en el plano F(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva la misma forma que el contorno del plano s, (Transformación conforme). Ambos contornos se consideran que tienen un sentido positivo. T RANSFORMACIÓN DE CONTORNOS EN EL PLANO S

Ahora, se transforma el mismo contorno en plano s, utilizando otra función de transformación: 1 Plano s Plano F(s) En este caso la transformación es no conforme pero conserva el sentido positivo. Existe una característica muy interesante que ocurre cuando el contorno del plano s encierra a ceros o polos la función: 1.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en el mismo sentido del contorno en plano s

2.- Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o polo de la función, el contorno en el plano F ( s ) no encierra al origen. 1 Plano s Plano F(s) 3.- Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en sentido contrario. -3 Plano s Plano F(s)

4.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un polo de la función, el contorno en el plano F ( s ) no encierra al origen. -3 Plano s Plano F(s) Todos estos resultado son consecuencia del principio del argumento (teorema de Cauchy). Teorema de Cauchy (Principio del argumento). Si un contorno en el plano s rodea Z ceros y P polos de F(s) y no pasa a través de ningún polo o cero de F(s) cuando el recorrido es en la dirección del movimiento del reloj a lo largo de contorno, el contorno correspondiente en el plano F(s), rodea al origen de dicho plano, veces en la misma dirección.

Calculo de N desde el origen: N = número neto de intersecciones

EL CRITERIO DE NYQUIST Sea la ecuación característica Para que el sistema sea estable, todos los ceros de F(s) deben de estar localizados en la parte izquierda del plano s. Por tal motivo se escogen un contorno en el plano s que encierre toda la parte derecha del plano y por medio del teorema de Cauchy se determina que ceros están dentro de. Esto se logra graficando en el plano F(s) y observando el número de rodeos al origen. Sin embargo es más común utilizar el polinomio en lazo abierto P(s) por ser relativamente más sencillo, entonces: Con este cambio de variables los rodeos se analizan sobre el punto del plano F(s)

F(s)F(s) Contorno de Nyquist. Gráfica polar de P(s). Plano s Plano F(s) Criterio de estabilidad de Nyquist Un sistema de retroalimentación es estable si y solamente si, el contorno. en el plano P(s) no rodea el punto (-1 +j 0) cuando el número de polos de P(s) en la parte derecha del plano s es cero. Un sistema de control con retroalimentación es estable si y solamente si, en el contorno el número de rodeos al punto (-1 +j 0) en el sentido contrario al movimiento del reloj (CCW) es igual al número de polos de P(s) con partes reales positivas.

CRITERIO DE NYQUIST Se parte del criterio del argumento N = número de encierros del punto (-1 + j0) hechos por la traza de G(s)H(S) Z = Número de ceros de 1 + G(s)H(s) que están dentro de la trayectoria de Nyquist (es decir, el semiplano derecho de s) P = Número de polos de 1 + G(s)H(s) que están dentro de la trayectoria de Nyquist. Para la estabilidad en lazo cerrado, Z debe ser igual a cero. Para la estabilidad en lazo abierto, P debe ser igual a cero.

CRITERIO DE NYQUIST Para la condición de estabilidad de acuerdo al criterio de Nyquist se establece como: Para que un sistema en lazo cerrado sea estable, la traza de G(s)H(s) debe encerrar el punto (-1, j0) un número de veces igual al número de polos de G(s)H(s) que están en el semiplano derecho de s y los encierros si los hay deben ser hechos en dirección contraria a de las manecillas del reloj (si, Γ está definida en sentido CW)