Fundamentos de Control

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1 Fundamentos de Control
Realimentado Clase Versión Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2013

2 Criterio de Estabilidad
de Nyquist Contenido: Principio del Argumento (PA) Aplicación del PA a Sistemas de Control Curva de Nyquist Aplicación del Criterio de Nyquist a SC

3 Introducción El Método de Nyquist fue desarrollado por Harry Nyquist en 1932, en los Laboratorios de Telefonía Bell. El fenómeno que dio lugar al desarrollo del método fue el siguiente. Desde el comienzo de la Teoría de Control se asumió de manera cierta que el aumento desmedido de ganancia del lazo trae inevitablemente la inestabilidad. Pero a veces se observaba algunos casos en donde una disminución de ganancia también ocasionaba la inestabilidad jw s -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 -2.5 -2 -1.5 -1 0.5 1 1.5 2 2.5 Ejemplo. Sea: DG(s)= s s +4 s (s2 + s + 1) Para K=K1*=0.41 hay polos imaginarios Para K=K2*=6 hay polos imaginarios Para 6>K>0.41 el sistema es inestable Descendiendo desde un K muy alto, por debajo de K2*, se pasa de la estabilidad a la inestabilidad

4 Alcances del Método de Nyquist
Como todos los métodos vistos, el Método de Nyquist se basa en el Sistema a Lazo Abierto y predice la cantidad de polos inestables del Sistema de Lazo cerrado, pero en el dominio fecuencial. Permite el análisis de sistemas complejos, eventualmente con más de un pico de resonancia. También es muy efectivo, en casos en que las ramas del Lugar de las Raíces cruzan varias veces el eje (Sistemas como el del ejemplo anterior). Posibilita el estudio de manera simple de la estabilidad de sistemas de lazo cerrado inestables a lazo abierto y de sistemas con grandes retardos de transporte. El Criterio de Nyquist se basa en el Principio del Argumento para Variable Compleja.

5 Ilustración del Principio del Argumento
El Principio del Argumento se basa en el encirculamiento que una curva logra en el plano complejo alrededor del origen bajo ciertas configuraciones de polos y ceros. Sea por ejemplo la función racional H(s), que tiene 2 polos y 2 ceros. Para un punto s=so arbitrario vale: Im Re Plano s 1 H(s0)= r1 r2 q1 q2 e j(1+2-f1-f2) =| H| e ja C1 a q1 q2 r1 r2 Se cumple: a s0 f1 2 f2 |H(s0)| = r1 r2 / q1 q2 b a(s0) =1 + 2 - f1 - f2 Si se define una curva cerrada C1 (con centro en el eje real) tal que no contenga ni a los polos ni a los ceros, pero si cruce por s0, y se recorre en sentido horario, el cambio neto de ángulo  del punto s0 en su recorrido sobre la circunferencia es 0°. También cada rayo r1, r2, q1 y q2 tiene un cambio neto de 0o. El ángulo neto significa el ángulo integrado en todo el recorrido de s0. La pregunta ahora es cuál es el cambio neto de  cuando s0 da una vuelta completa?

6 Ilustración del Principio del Argumento
Si miramos el mismo cambio de a, pero ahora evaluada en el plano s con el mapeo H(s) sobre la curva C1, es decir la imagen de C1 a través de la trans- formación H, el resultado es que H(C1) también tiene la forma de una curva cerrada. A esta curva la llamamos C2 Plano s Re Im C2 a |H(s0)| Con s0 C1 Cuando el punto s0 se mueve sobre C1, también el punto H(s0) recorre la curva C2 completamente El resultado es que el punto H(s0) acusa una variación neta nula de  pues C2 no encierra al origen, de la misma forma que C1 no encierra a ningún polo o cero de H(s)  |H(C1)|= |r1(C1)| |r2(C1)| |q1(C1)| |q2(C1)| a(s0)=1+2 - f1 -f2 Para que el punto H(s0) gire sobre C2 conteniendo al origen, al menos un polo o un cero debe estar en el interior de C1.

7 Ilustración del Principio del Argumento
Esta propiedad se ilustra con animación para la siguiente curva cerrada C1. Plano s Re(s) Im(s) Plano s Re(H(s)) Im(H(s)) 1 C2 C1 a |s0| a |H(s0)| f2 f1 b 2 a (s0) =1+2 - f1 -f2 El ángulo f2 del polo encirculado cambia 360°, mientras que a lo hace en -360°. Por ello C2 se recorre en sentido anti-horario mientras C1 lo hace en sentido horario. Cuando al menos un polo o un cero quedan encerrados por la curva elegida C1, simultáneamente el mapeo H(C1) encircula al origen.

8 Ilustración del Principio del Argumento
Supongamos que C1 encircula a un cero en lugar de un polo, luego se produce: Re(s) Im(s) Re(H(s)) Im(H(s) Plano s 2 3 1 f2 f1 C2 C1 s0 a | H(s0)| a (s0) =1 +2 +3 - f1 -f2 El ángulo del cero encirculado cambia +360° mientras que a lo hace también en +360°. Por ello C2 se recorre en sentido horario al igual que C1. Y si existiera un polo y un cero dentro de C1 , el ángulo neto de  sería cero. Y si fueran 2 ceros y 1 polo, el ángulo neto sería +360º, etc.

9 Principio del Argumento en Teoría de Control
Dada una función racional compleja H=1+KDG(s) (FC) y una curva cerrada C1 en el plano complejo s, la cual encierra a Z ceros y a P polos de H, el mapeo de la FT sobre C1, es decir C2=H(C1), rodeará el origen (Z – P) veces. Dada una función racional compleja H=1+KDG(s) (FC) y una curva cerrada C1 en el plano complejo s, la cual encierra a Z ceros y a P polos de H, el mapeo de la FT sobre C1, es decir C2=H(C1), rodeará el origen (Z – P) veces. Si pensamos que la curva C1 es tan amplia que abarca el semiplano derecho del plano complejo, podríamos argumentar que el número de rodeos de H(C1) al origen detectará eventualmente la presencia de polos y ceros inestables en la cantidad neta (Z-P). Si pensamos que la curva C1 es tan amplia que abarca el semiplano derecho del plano complejo, podríamos argumentar que el número de rodeos de H(C1) al origen detectará eventualmente la presencia de polos y ceros inestables en la cantidad neta (Z-P). Puede darse el caso en que no exista un rodeo neto del origen por parte de H(C1) , aún cuando existan ceros y polos de H ines- tables. En este caso, el número de polos P es igual al número de ceros Z encerrados por C1. Esto sería una indeterminación! Puede darse el caso en que no exista un rodeo neto del origen por parte de H(C1) , aún cuando existan ceros y polos de H ines- tables. En este caso, el número de polos P es igual al número de ceros Z encerrados por C1. Esto sería una indeterminación!

10 Aplicación del PA a Sistemas de Control
Sea KDG(s) la función de transferencia de un sistema a lazo abierto. Luego, para lazo cerrado se tiene: = T(s) = KDG(s) 1+KDG(s) Y(s) R(s) Es conocida la condición de estabilidad a través de la Ecuación Característica 1+KDG(s)=0, que tenga raíces en el semiplano izquierdo. Podemos entonces aplicar el Principio del Argumento a H(s)=1+KDG(s), donde C1 abarca a “todo” el semiplano derecho y probar si existe algún encirculamiento N del origen del plano s por la curva C2=H(C1). Y, finalmente, si además de N se conoce P, que son polos inestables de 1+KDG, entonces se determina: Z = N + P donde Z es el número de ceros inestables en 1+KDG(s) (que son los polos inestables de la FTLC y N el número de encirculamientos del origen.

11 Primera alternativa para la construcción de C2
Para abarcar todos los polos y ceros inestables de (1+KDG), la curva C1 debería construirse abarcando todo el semiplano derecho en un proceso al límite cuando s tiende a infinito en los confines del plano (curva cerrada). Esto se ilustra así: 1+KDG Sea: H= Re(s) Im(s) Plano s La propuesta de C1 debe incluir polos y ceros inestables de H pero debe sortear los polos y/o ceros imaginarios de H Configuración de Polos/ceros imaginarios del SCLC s   N = Z – P = -3 con: Z=1 y P=4 C1 Estos polos y ceros sobre el eje imaginario son desconocidos pues son de H. También sus ceros y polos estables o inestables son desconocidos (aunque estos últimos pueden calcularse independientemente) Es decir: 1 vuelta horaria y 4 vueltas anti-horarias, por lo que C2 rodeará el origen 3 veces en sentido anti-horario. C1 Por este conocimiento incom- pleto, C2 no podría calcularse al no poder determinar |H| y  Configuración de polos y ceros inestables del SCLC Sin embargo existe una solución distinta que consiste en elegir una nueva C2 que sí resulta determinable

12 Aplicación del PA a Sistemas de Control
Notas importantes De la Ecuación Característica: 1 + KDG(s) = 1 + K a(s) a(s) + K b(s) b(s) = se desprende que los polos de 1+KDG(s) son los polos de KDG(s) Se nota también que los ceros de KDG son los ceros de KDG/(1+KDG) Por lo tanto, la presencia de un polo inestable, causaría un encircula- miento de H(s)=1+KDG(s) alrededor de 0 y su existencia sería sabida de antemano por un conocimiento previo de la planta (modelo). Asumimos por ende que P es conocido o identificado de antemano KDG(s) = a(s) b(s) b(s) a(s) + K b(s) 1 + KDG(s) = KDG(s) Por lo tanto, si existe un encirculamiento del punto 0 debido a la existencia de al menos un polo inestable del Sistema de Lazo Cerrado (o sea un cero de 1+KDG(s)), éste será siempre detectado sumando a N la cantidad de P polos inestables de KDG(s) identificados de antemano. Esto es así, si previamente contamos los rodeos N en C2.

13 Segunda alternativa para la construcción de C2
Analizando 1+KDG(s), se nota que el encirculamiento del origen 0 por parte de C2= H(C1)=1+KDG es equivalente al encirculamiento del punto -1 por parte de una nueva C2= KDG(s) (pues es similar a desplazar KDG(C1) en un valor igual a uno hacia la izquierda en el plano s Por ello podemos analizar los encirculamientos de C2=KDG(C1) al punto -1 y extraer las mismas conclusiones sobre la estabilidad del Sistema de Lazo Cerrado que con la función C2=1+KDG(C1) respecto al punto 0, sólo que ahora en C1 deben estar los polos y ceros inestables de KDG ! El cálculo de C2 puede proveer fundamentalmente de la magnitud y fase de H=KDG que sí son determinables. Si estas se plotean en coordenadas polares, la curva resultante se denomina Curva de Nyquist. Para construir la Curva Nyquist no se necesita un MODELO de G(s), tan solo una sucesión de experimentos para dibujar las Curvas de Bode C2 se construye mapeando C1 (bordes del plano semiderecho excluyendo el eje imaginario) mediante H(C1) =KDG(C1). Se cuentan los rodeos N al punto -1 de C2 y halla Z=N+P. Si Z>0 entonces el SCLC es inestable por tener Z polos inestables.

14 Aplicación del PA a Sistemas de Control
Notas Finales Una dificultad que se encuentra a menudo en la construcción teórica a mano alzada del DN está en definir C2 en el comienzo de un arco que empieza en +j o en -j. Estos casos se precisarán más adelante. Ejemplo 1) DG(s) tiene un polo inestable (lo que significa P=1). A través del trazado del Diagrama de Nyquist (es decir: curva de KDG(s) con s variando sobre C1), se observa un encirculamiento del punto -1 doble, es decir N=2. Se concluye que existen tres polos inestables de la función de transferencia de Lazo Cerrado (pues Z=N+P=2+1=3). Ejemplo 2) DG(s) es estable (lo que significa P=0). A través del trazado del Diagrama de Nyquist, se observa un encirculamiento doble del punto -1, es decir N=2. Se concluye que existen dos polos inestables de KDG(s)/1+KDG(s), es decir Z=N=2.

15 Definición de las Curvas Cerradas C1 y C2
Evaluación a través de KDG(s) C1 para evaluación de encirculamiento de de polos inestables de KDG/(1+KDG(s)) (Este es el Método de Nyquist) Re(s) Im(s) Plano s Re(s) Im(s) Plano s s   H(s)=KDG(s) C2 -1 C1 Rodeos alrededor de -1 Rodeos alrededor de -1 Polos y ceros inestables de KDG Polos y ceros inestables de KDG Evaluación a través de 1+KDG(s) Polos y ceros inestables de 1+KDG Im(s) Re(s) Plano s H(s)=1+KDG(s) C’2 Rodeos alrededor del 0

16 Notas sobre la Construcción de C2
C2 depende de la ubicación particular de los polos y ceros de KDG Si KDG(s) tiene un integrador o un derivador en el origen, deberá prestarse atención al mapeo de los 3 puntos: s=0++j0+, s=0+ y s=0++j0- De manera similar, si KDG(s) tiene algún polo o cero imaginario conjugado en j0 , luego deberá prestarse atención al mapeo de los 3 puntos: y sus 3 puntos conjugados (6 puntos en total) s =0++j0+, s=j0 y s=0++j0- Comúnmente KDG(s) tiene la propiedad de tener grado relativo positivo, por ello se cumple: lim KDG = lim KDG = lim KDG = 0 s=j j  s=j -j  s  ej con  >0 Así, el mapeo de j o de -j u otro con |s|= va a parar al origen del plano complejo de C2 Agregar un integrador a KDG rota la curva C2 (sin integrador) en 90º en for-ma horaria. Lo mismo sucede con 2, 3…integradores, C2 gira 180º, 270º … Agregar un derivador a KDG, rota la curva C2 (sin derivador) en 90º en forma anti-horaria. Lo mismo sucede con 2, 3…derivadores, C2 gira 180º, 270º … en sentido anti-horario respectivamente.

17 Construcción de las curvas C1 y C2
Para abarcar todos los polos y ceros inestables de (1+KDG), la curva C1 se construye así: |KDG()| -  -1 1 Re(s) Im(s) Plano s Respuesta frecuencial POLOS y CEROS del SCLA Parte de C1 en C2 s   KDG(s=j)  x 1 -1 o C1 C1 abarcó todo el semiplano derecho complejo. La imagen del eje imaginario (sin contar los polos y ceros sobre él que producen un mapeo de magnitud infinita) resulta ser |KDG()|. La representación en C2 de estos rodeos resulta en tramos de magnitud infinita, y cada uno de ellos contribuirá con giros de 90º en sentido horario respectivamente. Sólo falta completar C2 para el arco de s  .

18 Ejemplo de Construcción de C2
KDG(s)= (s-5) s (s+1) C2 se define para la configuración particular de polos y ceros de: Sea por ejemplo C1 con la configuración de polos y ceros descripta a continuación. C1 Im(s) Plano s Re(s)  - y  90° f2  90° f1  90° Tomamos puntos característicos de C1 y los mapeamos a C2 a través de KDG con: y > 90° f2 > 0° f1 > 0° y <90° a = y - f1 - f2 |KDG| = r1 / q1q2 Puntos característicos s0: =0- : a=180º-(0º-90º) =-90° |KDG(s0)|= y  180° f2  90° f1  0° y  180° f2  -90° f1  0° y  180° f2  0° f1  0° y  0° f2  0° f1  0° y  -90° f2  -90° f1 -90° y >- 90° f2 < 0° f1 < 0° =0 : a=180º-(0º+0º) =180° |KDG(s0)|= q1 q2 r1 =0+ : a=180º-(0º+90º) = 90º |KDG(s0)|= =+j : a=90º-(90º+90º) = -90° |KDG(s0)|=0 =0 y s= : 0 > >-9 0° |KDG(s0)|=0 =0º-(0º+0º) = 0° =0 y = : |KDG(s0)|=0 0 <  <90° =0 y s= : |KDG(s0)|=0 a=-90º-(-90º-90º) = 90° =-j : |KDG(s0)|=0

19 Continúa ejemplo de C1 y C2
=0- : a=180º-(0º-90º) =-90° KDG(s0)= KDG(j )= (j-5) j (j+1) =0 : a=180º-(0º+0º) =180° KDG(s0)= =0+ : a=180º-(0º+90º) = 90º KDG(s0)= KDG(C1 )=C2 Plano s Re(s) Im(s) =+j : a=90º-(90º+90º) = -90° KDG(s0)=0 w=0 + =0 y = : =0º-(0º+0º) = 0° KDG(s0)=0 =-j : KDG(s0)=0 a=-90º-(-90º-90º) = 90° I -40 -20 20 40 60 10 -3 -2 -1 1 2 -90 -45 45 90 w>0 Existen 3 tramos constitutivos de C2: ramas I, II y III Según DB, es sistema es estable C2 Magnitud Estos 3 puntos son muy importantes y deben localizarse con cuidado para obtener un conteo de los rodeos Db w=0 -1 w= w=- 1 Normalmente, cuando hay un cero inestable (como en este ejemplo) o un polo inestable, el punto w =0 cae a la izquierda del eje real en -, permitiendo que existan rodeos del punto -1  Fase III II w<0 Grados En sistemas bien comportados de tipo 0, 1 o 2, este punto cae a la derecha del eje real en +. w=0 -

20 Continúa ejemplo de C1 y C2
Ahora se simulará todo el proceso de recorrido de C1 y C2 simultáneamente con el fin de hacer el conteo N Im(s) Plano s Re(s) KDG(j )= (j-5) j (j+1) Plano s Re(s) Im(s) -1 j -j w=0 + w=0 - w<0 w>0 w= w=0 w=- KDG(C1 )=C2 C1 C2 w=0 + w=0 - w=0 1 rodeo horario  N=1 y P=0 Luego Z=1 Inestable (Confirmar con LR)

21 Ángulo de partida (=0) de la rama I de C2
El ángulo de partida  en j=j0+ de la rama I de C2 (es decir de KDG(C1)) es: 0o si la ganancia estática de KDG es una constante positiva KDG(0) C2 Re Im =0+ + 3 integradores 10 -1 1 2 3 20 dB 0 dB -20 dB -40 dB -60 dB w -20 dB/dec wc=a MAGNITUD ganancia negativa -n 90º si KDG tiene n integradores: -90º, -180º, -270º ,... KDG= K s2 (s+a) =0+ + 2 integrador + 1 cero inestable KDG= K s3 (s+a) KDG= -K (s+a) (s+b) KDG= K (s+a) (s+b)(s-c) KDG= K(s-c) (s+a) (s+b) + 1 polo inestable 3) si KDG tiene un cero inestable se le suma 180º al ángulo resultante de 1) o 2). Por ejemplo la planta indi- cada: 0º +180º=180º =0+ -270o =∞ -180o 180o +180o 0o =0+ + 1 integrador =0+ -90o -20o =0+ -85o -90o =0+ -180o -40o -60o -75o 10 1 2 -90o -45o 0o -1 -2 -3 w a FASE 4) si KDG tiene un polo inestable se le resta 180º al ángulo resultante de 1) o 2). Por ejemplo la misma planta: 0º -180º =-180º 0o Planta original -20o KDG= K s (s+a) KDG= K (s+a) (s+b) KDG= K (s+a) -40o -60o si la ganancia estática de KDG es negativa se suman otros 180º (antisimetría). -75o -90o -85o

22 Ángulo de llegada (=∞) de la rama I de C2
El ángulo de llegada  en j=j de la rama I de C2 (es decir de KDG(C1)) es: -(n-m)*90o si el sistema posee ceros y polos estables. Sea la planta original C2 Re Im KDG= K s3 (s+a) + 3 integradores KDG= K s2 (s+a) + 2 integradores KDG= K(s-c) (s+a) (s+b) Ejemplo 1: 1 polo estable: -90º -270o KDG= K (s+a) (s+b)(s-c) + 1 cero inestable -270o Ejemplo 2: 1 polo estable -90°-q*90° ej. 1 y 2 integradores:-90-90º, -90°-180º + 1 polo inestable = -360o -180o -180o Sea otra planta -(n-m)*90o + 90º. + 1 integrador Si el sistema posee además 1 cero inestable. Para n-m=1 queda º+90º=-90º Planta original KDG= K (s+a) (s+b) KDG= K (s+a) -90o -90o 3) -(n-m)*90o - 90º si el sistema posee 1 polo inestable. Para n-m=2 queda -180º-90º=-270º KDG= K s (s+a) Todos estos resultados surgen del Diagrama de Bode de Magnitud y Fase.

23 Ejemplo de un sistema de primer orden
C2 Re Im -1 =0+ KDG= K (1+s) =-∞ =0- =∞ K<K0 K0 K>K0 N=0 P=0 Z=N+P=0 El sistema es estable para cualquier K

24 Aplicación del Criterio de Nyquist a SC
Resumen Se observa que cuando C1 abarca todo el semiplano derecho, el mapeo C2 está compuesta de tres tramos (ramas conexas) en el plano s: Tramo I : El mapeo sobre del eje imaginario positivo que es KDG(jw) . Es recomendable usar diagrama de BODE. Tramo II : El mapeo sobre del eje imaginario negativo que es KDG(-jw). Esta curva es simétrica al primer tramo respecto del eje real. Tramo III : El mapeo para /s/=∞ que resulta en un arco que debe unir los puntos: KDG(=0-), KDG(=0) y KDG(=0+) que para sistemas con integradores representa un arco de radio infinito que da ½ vuelta (por cada integrador) según el mapeo de los puntos: =0-, =0 y =0+. También polos imaginarios conjugados causan giros infinitos. Pueden existir encirculamientos horario (N>0), nulo (N=0) o antihorario (N<0), por lo que siempre hay que revisar P. Si N es negativo, segura- mente existirán al menos –N polos de lazo abierto inestables (P-N).

25 Una propiedad muy importante de la CN
Sea por ejemplo la representación del D. de Nyquist de KDG=K/jw(1+jw). Graficamos sólo la porción del DN de frecuencias positivas (tramo I) Im(s) -1 Re(s) w>0 w=0+ w= Se ve claramente en este ejemplo que al no cambiar la fase, el ángulo de la curva en = es -180º para todo K>0 Asumamos que K tiene un valor K1 Tracemos un rayo desde el origen hasta cortar la curva de Nyquist en un punto de frecuencia 1 cualquiera Al igual que en el Lugar de las Raíces que cuando las ramas no cruzan el eje imaginario es una evidencia de estabilidad, aquí, en el Diagrama de Nyquist se constata claramente que la curva NUNCA rodeará el punto -1, y que por lo tanto el sistema realimentado proporcionalmente será siempre estable. K1DG(jw1) w1 Si se aumenta la ganancia de KDG(jw) desde K1 hasta otro valor mayor K2, el punto de curva de Nyquist se desplaza hacia afuera sobre el rayo manteniendo la fase y la frecuencia 1 (ver Diagrama de Bode) w1 K2DG(jw1) Controlador Servomotor Y R U E - 1 s(s+1) K Si contemplamos más rayos para distintas frecuencias  pero con el mismo K2 , la Curva de Nyquist K1DG(j) se dilata hacia afuera proporcionalmente a K2/K1.

26 Aplicación del Criterio de Nyquist a SC
Ejemplo: Continúa con la Función de Transferencia de KDG = K/j(j +1) Plano s Re(s) Im(s) -1 Se nota que el Sistema es de tipo 1 y P=0 ! w=0+ w=0- w=0 w<0 Definimos un K para el SCLC Ploteamos la curva de Nyquist: tramos I, II y III, y notamos una circulación horaria. Tramo III Tramo II Notamos además que para ese valor de K, la curva NO contiene al -1 ! w= w>0 Concluimos, el sistema realimentado es estable! Tramo I Aumentamos K, y la CN se “expande” hacia afuera, pero nunca se encircula al punto -1 ! El sistema KDG/(1+KDG) es estable para cualquier K !

27 Análisis del Sistema anterior por LR
La Función de Transferencia de LA: K/s(s+1) posee la siguiente Curva de Nyquist y el Lugar de las Raíces para K=K1 bajo: w>0 w=0+ w=0- w<0 Plano s Re(s) Im(s) -1 w= K1 Plano s jw s K3 K3 K2 K2 K1 - 0.5 Margen de Fase Los límites de la zona de performance tienen que ver de alguna manera con la aproximación de la CN al punto -1 El SCLC no se inestabiliza. Los resultados son coherentes ! Notar que la curva de Nyquist se acerca más y más al punto -1 con K creciente Simultáneamente, los polos en el LR se salen de la zona deseada de performance

28 Construcción práctica de la C. de Nyquist
En los sistemas de tipo 0, 1 o 2 con P=0 y fase mínima con o sin un retardo puro, puede aplicarse la siguiente regla: Como por ejemplo: 1 s(s+1) G(s) = (s+2) s(s+5) G(s) = (s+3) s2(s+2) G(s) = (s+5) e-7s s2(s+1)(s+10) G(s) = Primeramente con el módulo y la fase de KDG(jw) construimos el tramo I para 0+w para el sistema de Lazo Abierto, por ejemplo, con un integrador y varios polos estables. Plano s Re(s) Im(s) -1 w= Supongamos que el punto sobre la curva en w=0+ avanza sobre la misma con w creciente hasta infinito. K1 w>0 Si la curva recorrida deja al punto -1 a la izquierda, entonces el SCLC es estable! El grado relativo es 4! Por lo tanto la construcción del DN solo requiere el primer tramo de la curva, es decir aquel obtenido del Diagrama de Bode. w=0+

29 Construcción Práctica de la C de Nyquist
Otro ejemplo: Sea el SCLA: KDG=K/s2(s+1) Para un valor de K, por ej K1, se construye el DN a partir del módulo y la fase de K1DG(jw) para 0w Re(s) Im(s) -1 Plano s w>0 K1 Un punto para w=0+ avanza sobre la curva desde (- ,0) con w creciente hasta el origen para w= w=0+ K1 acomp a K2<K1 w= Se nota que la curva recorrida deja al punto -1 a la derecha, entonces el SCLC es inestable! compensado Si la ganancia se achica, el sistema de control continúa irremediablemente en la inestabilidad. Verificar este resultado con Diagrama de Bode y Lugar de la Raíces! Esto indica que hay que emplear un compensador lead, que adelanta la fase alrededor del punto -1, quedando el punto a la izquierda de la curva. En esta situación se compensa el lazo de control estabilizándolo. Para 3 o más integradores, esta regla práctica no se aplica, es decir se tiene que construir el diagrama de Nyquist completo. O un cero entre el polo y sus dos integradores (Verificar con LR).