UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO PLANTEL DR. ÁNGEL MA. GARIBAY K. Geometría Analítica Módulo IV ELIPSE Autor M. en I. Alejandro Morales Velázquez

PRESENTACIÓN Con la finalidad de que el alumno comprenda mejor los temas relacionados con la solución de ejercicios que tienen que ver con los diferentes tipos de las ecuaciones de la elipse, se realiza esta presentación para que paso a paso se familiarice con una forma diferente de resolver los ejercicios fuera del salón de clases.

PROPÓSITOS. Que el alumno comprenda los diferentes tipos de ecuaciones de la elipse e identifique su gráfica correspondiente. Que comprenda los procesos de desarrollo para diferentes situaciones, centro en el origen, en h,k y elipses verticales u horizontales.

Guía para el profesor Este material lo puede utilizar cualquier profesor, ya que únicamente tiene que ir proyectando las diapositivas y comentar con los alumnos paso a paso la solución de los ejercicios. Se pueden pasar primero los ejercicios con centro en el origen y en una segunda sesión con centro en h,k; para que el alumno comprenda mejor la resolución de ejercicios.

ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

Ecuaciones de la elipse centro en (0,0)

Ecuaciones de la elipse centro en (h,k)

Fórmulas de los elementos de la elipse

Ejercicio Una elipse horizontal tiene su centro en el origen, uno de sus vértices es (5,0) y su lado recto es de 4, calcular todos sus elementos y trazar su gráfica.

Como es horizontal Utilizamos la ecuación: Uno de sus vértices es (5,0) y como el centro esta en el origen (0,0); la distancia entre estos dos puntos es 5. Por lo que:

Otro dato que nos dan es el lado recto

Para conocer el valor de c utilizamos la relación fundamental

Otros elementos de la elipse

Gráfica

Ejercicio de aplicación En la imagen se muestra un plato de una vajilla los cuales tienen forma de una elipse. Considera el centro a la mitad del plato, Si el largo del plato mide 30 centímetros y el ancho 12 centímetros. Calcula todos sus elementos y propon la ecuación de la elipse.

Ejercicio de aplicación

Gráfica que representa el plato

Datos del problema De la gráfica observamos que las coordenadas de los vértices son: ( - 15,0 ) y ( 15,0 ); que corresponden al eje mayor, por lo que el valor de a = 15 Las coordenadas del eje menor son: (0, - 6 ) y (0, 6 ); por lo que el valor de b = 6

Ecuación de la elipse Con los valores de a y b obtenemos la ecuación de la elipse:

Y sus elementos son Eje mayor = 30 Eje menor = 12 Lado recto = Excentricidad =

Obtención del valor de c: Utilizando la relación fundamental de la elipse:

Ejercicio con centro en (h,k) Una elipse tiene sus vértices en (3,8) y (3,-4) y tiene eje menor igual a 6. Calcular todos sus elementos y traza la gráfica.

Los vértices nos dan el eje mayor de la elipse. Por lo que calculamos la distancia entre estos puntos.

El centro de la elipse es el punto medio entre los vértices.

Como el eje menor es 6

Otros elementos de la elipse

Gráfica

Elipse horizontal Encontrar la ecuación de la elipse horizontal que tiene su centro en (2,3), el eje mayor es igual a 8 y su lado recto mide 2. Trace la gráfica.

Como el eje mayor es igual a 8 EM = 8 = 2a despejando a = 4 Y como el lado recto = 2 = Sustituyendo a = 4 Despejamos b:

Encontrando el valor de c. Utilizando la relación fundamental de la elipse: Despejando c:

Como es una elipse horizontal La ecuación correspondiente es: Sustituyendo datos:

Ecuación general Eliminando los denominadores: Desarrollando los binomios:

Ecuación general Realizando operaciones:

Gráfica

Dada la ecuación general trazar la gráfica

Completando el trinomio en x, y encontrando la ecuación ordinaria.

El centro está en (3,0)

Calculando el valor de c:

Cálculo del Lado recto

Gráfica

Bibliografía Riddle F. Douglas. (1996). Geometría Analítica. Ed. Thomson. Swokowski, E. Cole, J.(2001) Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Editores México.