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Publicada porJuanita Constante Modificado hace 9 años
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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2
LÍNEA RECTA MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN
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LÍNEAS RECTAS. Pendiente de una recta. Ángulo de inclinación.
Ecuación de la recta para punto y pendiente. Ecuación general de la recta. Ecuación de la recta para pendiente y ordenada en el origen. Condición de paralelismo. Condición de perpendicularidad. Distancia de un punto a una recta.
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1. PENDIENTE DE UNA RECTA. Pendiente: Es una inclinación.
La pendiente de una recta que pasa por dos puntos es: m = tan P2 (x2, y2) P1 (x1, y1)
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1. PENDIENTE DE UNA RECTA. Ejemplo 1:
La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5) es: P2 (x2, y2) P1 (x1, y1)
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1. PENDIENTE DE UNA RECTA. Ejemplo 2:
La pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (-5, 5) es: P2 (x2, y2) P1 (x1, y1)
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1. PENDIENTE DE UNA RECTA. Ejemplo 3:
La pendiente de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, 3) es: P1 (x1, y1) P2 (x2, y2)
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2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN. Si la pendiente de una recta es: m = tan
Entonces, el ángulo de inclinación de la recta es: = tan-1 m P2 (x2, y2) P1 (x1, y1)
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2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN. Así, para el Ejemplo 1, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5) es: = tan-1 m = tan-1(2/3) = 33.69º = 33º 41’ 24” P2 (x2, y2) P1 (x1, y1)
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2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN. Para el Ejemplo 2, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (-5, 5) es: = tan-1 m = tan-1 = 90º Ya que la recta es vertical. P2 (x2, y2) P1 (x1, y1)
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2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN. Para el Ejemplo 3, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, 3) es: = tan-1 m = tan-1 0 = 0º Ya que la recta es horizontal. P1 (x1, y1) P2 (x2, y2)
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3. ECUACIÓN DE LA RECTA PARA PUNTO Y PENDIENTE.
La ecuación de la pendiente de una recta, para un punto genérico P(x, y) y otro punto cualquiera que sea P1 (x1, y1) es: Eliminando el denominador, despejando de la misma tenemos:
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3. ECUACIÓN DE LA RECTA PARA PUNTO Y PENDIENTE.
La ecuación Se conoce como “ecuación de la recta para punto y pendiente”. Donde: m: pendiente de la recta (x1, y1): es un punto cualquiera
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Si en la ecuación se sustituye la pendiente “m” y un punto P(x1, y1), se obtiene una ecuación de la forma Ax + By + C = 0, la cuál se conoce como Ecuación General de la Recta. Donde: A: coeficiente de “x” B: coeficiente de “y” C: término independiente
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 4: Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(3, 7) y B(-2, 1). La pendiente es: Sustituyendo el punto (3, 7) y la pendiente 6/5 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=6/5, P(3, 7) Igualando a “cero”: Luego, la ecuación general de la recta es: 6x – 5y + 17 = 0 A=6, B=-5, C=17
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 5: Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto C(-2, 7) y D(4, -3). La pendiente es: Sustituyendo el punto (4, -3) y la pendiente -5/3 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=-5/3, P(4, -3) Igualando a “cero”: Luego, la ecuación general de la recta es: 5x + 3y - 11 = 0 A=5, B=3, C=-11
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 6: Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto E(1, 6) y F(-3, -4). La pendiente es: Sustituyendo el punto (1, 6) y la pendiente 5/2 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=5/2, P(1, 6) Igualando a “cero”: Luego, la ecuación general de la recta es: 5x – 2y + 7 = 0 A=5, B=-2, C=7
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Ejemplo 7: Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto G(-5, 4) y H(3, 0). La pendiente es: Sustituyendo el punto (3, 0) y la pendiente -1/2 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
m=-1/2, P(3, 0) Igualando a “cero”: Luego, la ecuación general de la recta es: x + 2y - 3 = 0 A=1, B=2, C=-3
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4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Si ya se conoce la pendiente “m” y el punto, se sustituyen directamente en la ecuación de la recta para “punto y pendiente”.
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Si de la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 despejamos “y”: Obtenemos: (0, b)
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Que tiene la forma y = m x + b Donde: (0, b)
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Por lo tanto, si conocemos la ecuación general de la recta A x + By + C = 0, podemos calcular su pendiente “m” y su ordenada en el origen. Esto es, que el punto P(x1 , y1) es P(0,b) donde x1 = 0 y y1 = b. (0, b)
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Ejemplo 8: De la recta 6x-5y+17=0 A=6, B=-5 y C=17. Luego: (0, 17/5)
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5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.
Ejemplo 9: De la recta 5x + 3y -11 = 0, A=5, B=3 y C=-11. Luego: (0,11/3)
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6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
Sean L1 y L2 dos rectas paralelas y 1 y 2 sus ángulos de inclinación como se muestra en la figura. L2 L1 Luego: 2 = 1 Tan 2 = Tan 1 m2 = m1 2 1
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6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
Ejemplo 10: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -2) y es paralela a la recta 5x - 2y + 7 = 0. L1: 5x – 2y + 7 = 0 L2: pasa por (3, -2) y es paralela a L1. L1 L2
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2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO.
De la ecuación de la recta 5x - 2y + 7 = 0, podemos calcular “m” como sigue: Pero: m2 = m1=5/2 y P(3, -2) L1 L2
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2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO.
m2 = m1=5/2 y P(3, -2) Luego, sustituyendo en Obtenemos L2: 5x – 2y – 19 = 0 L1 L2
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2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO.
Ejemplo 11: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, 1) y es paralela a la recta x + 2y - 3 = 0. L1: x + 2y - 3 = 0 L2: pasa por (-2, 1) y es paralela a L1. L2 L1
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6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
De la ecuación de la recta x + 2y - 3 = 0, podemos calcular “m” como sigue: Pero: m2 = m1=-1/2 y P(-2, 1) L2 L1
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6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.
m2 = m1=-1/2 y P(-2, 1) Luego, sustituyendo en Obtenemos L2: x + 2y = 0 L2 L1
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares y 1 y 2 sus ángulos de inclinación como se muestra en la figura. L1 L2 Luego: 2 = 1+90º Tan 2 = Tan (1+90º) m2 = -1/m1 2 1
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Ejemplo 12: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 1) y es perpendicular a la recta 3x–2y+5=0. L1: 3x-2y+5=0 L2: pasa por (2, 1) y es perpendicular a L1
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
De la ecuación de la recta 3x-2y+5=0, podemos calcular “m” como sigue: Pero: P(2, 1) y
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
m2 = -2/3 y P(2,1) Luego, sustituyendo en Obtenemos: L2: 2x+3y-7=0
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Ejemplo 13: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) y es perpendicular a la recta 3x+5y-1=0. L1: 3x+5y-1=0 L2: pasa por (2,-3) y es perpendicular a L1
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
De la ecuación de la recta 3x+5y-1=0, podemos calcular “m” como sigue: Pero: P(2,-3) y
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
m2 = 5/3 y P(2,-3) Luego, sustituyendo en Obtenemos: L2: 5x-3y-19=0
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
Ejemplo 14: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por el punto (3, 4) y (-2,-1). L1: pasa por (3, 4) y (-2,-1) L2: pasa por (2, 1) y es perpendicular a L1
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7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.
La pendiente de la recta que pasa por (3, 4) y (-2,-1) es: Pero: Luego, sustituyendo m2 = -1 y P(2, 1): Obtenemos la ecuación: x+y-3=0
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8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Para encontrar la distancia d de un punto (x1, y1) a una recta L, se traza la recta L1 paralela a L y que pase por el punto (x1, y1). La ecuación es: El signo del radical debe ser opuesto al de C. Y L1 L (x1, y1) d X
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8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Ejemplo 15: Encontrar la distancia d desde la recta 8x+15y-24=0 al punto (-2,-3). Sustituimos los coeficientes de A, B y C en la ecuación: Enseguida la coordenada del punto: Como d es negativo, el origen y el punto están al mismo lado de la recta.
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8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Ejemplo 16:Encontrar la distancia d desde la recta 6x-8y+5=0 al punto (-1, 7). Sustituimos los coeficientes de A, B y C en la ecuación: Enseguida la coordenada del punto: Como d es positivo, el origen y el punto están en distinto lado de la recta.
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FIN
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